文章插圖
虛數(shù)單位i最常見的定義是=i, 還有定義=-1, (我比較喜歡的這個(gè)) 。注意，對(duì)于負(fù)實(shí)值的平方根，或者任何根，當(dāng)涉及到以下乘積時(shí)，你必須小心:
【虛數(shù)單位i和復(fù)數(shù)的剖析 復(fù)數(shù)中i為虛數(shù)單位是什么意思】這顯然是錯(cuò)的;應(yīng)該是. =-1 。這里有一個(gè)限制:當(dāng)取兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的平方根的乘積時(shí)，在相乘之前，應(yīng)該先將每個(gè)因子轉(zhuǎn)換為一個(gè)復(fù)數(shù) 。這個(gè)轉(zhuǎn)換看起來像這樣:
復(fù)數(shù)有實(shí)部和復(fù)部 。例如，復(fù)數(shù)z=a+bi有a的實(shí)部和b的虛部，可以寫成Re(z)=a, Im(z)=b 。如果復(fù)數(shù)的實(shí)部是0，那么這個(gè)數(shù)就是純虛數(shù) 。像7這樣的數(shù)是一種普通復(fù)數(shù)，它的虛部是0 。你可以在復(fù)平面上畫出復(fù)數(shù)，復(fù)平面有實(shí)軸和虛軸 。這種a+bi形式也被稱為復(fù)數(shù)的矩形形式 。
在數(shù)字系統(tǒng)方面，N?Z?Q?R;;復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的超集 。它們是獨(dú)特的，具有現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用，就像復(fù)數(shù)所做的事情是實(shí)數(shù)有限做不到的 。復(fù)數(shù)的集合類似于實(shí)數(shù)R，有序?qū)崒?duì)的集合(你可以把每一個(gè)復(fù)數(shù)看作是它的實(shí)部和虛部的有序?qū)? 。但是，復(fù)數(shù)的一個(gè)基本優(yōu)勢(shì)超過了實(shí)數(shù)，就是求復(fù)數(shù)的乘積很簡單，結(jié)果是另一個(gè)復(fù)數(shù);試圖求兩個(gè)有序?qū)崒?duì)的乘積是很復(fù)雜的 。
在現(xiàn)實(shí)世界中，復(fù)數(shù)的應(yīng)用出現(xiàn)在二維的流體力學(xué)中，或者在工程中表示平面的旋轉(zhuǎn)，因?yàn)閺?fù)數(shù)提供了二維系統(tǒng)的美妙的表達(dá)方式 。
基本算術(shù):復(fù)數(shù)的求和，模和共軛
計(jì)算復(fù)數(shù)的和很簡單:你只需要將它們各自的實(shí)分量和虛分量相加 。例如:我(43 + 7i)+(12?34i)= (43 + 12)+ i(7?34)= 65?27i 。換句話說,z1 + z2 = (Re (z1) +(z2)] + i [Im (z1) + Im (z2)] 。你只要把i當(dāng)做其他的常規(guī)的代數(shù)變量然后加上類似的項(xiàng) 。更直觀的解釋方法是用復(fù)數(shù)的向量 。當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)相加時(shí)，你是在求兩個(gè)向量的和:你把一個(gè)向量的底平移到另一個(gè)向量的頂 。
一個(gè)復(fù)數(shù)的絕對(duì)值/半徑/模量，就是一個(gè)數(shù)在復(fù)數(shù)平面的原點(diǎn)的位置 。利用距離公式，我們得到了復(fù)數(shù)z=a+bi的模r為r= 。|z1?z2|是兩個(gè)復(fù)數(shù)的絕對(duì)值，表示復(fù)數(shù)平面上兩個(gè)復(fù)數(shù)點(diǎn)之間的距離 。這樣的方程|z?(3+4i)|=3表示所有距離3+4i 3個(gè)單位的復(fù)數(shù)的集合 。解集可畫成一個(gè)圓 。
復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛，用z -表示，等于a - bi 。換句話說，它是反映在實(shí)軸上的復(fù)數(shù) 。它的性質(zhì)是如果你取一個(gè)復(fù)數(shù)和它的共軛的乘積，你總是得到模的平方 。事實(shí)上，這就是你如何得到平方和的公式:
共軛復(fù)數(shù)有許多性質(zhì);這里列出一些:
這里是一個(gè)眾所周知的定理的例子，涉及多項(xiàng)式利用共軛的性質(zhì):
復(fù)數(shù)共軛定理:給定多項(xiàng)式P(x),，如果a+bi是多項(xiàng)式的根，那么a-bi它也一定是根 。
復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式
到目前為止，我們一直在考慮復(fù)數(shù)的實(shí)分量和虛分量形式 。還有一種表示復(fù)數(shù)的方法在某些情況下更有用 。它使用了復(fù)數(shù)的模量和它的輻角（由右x軸轉(zhuǎn)到指向復(fù)數(shù)的向量） 。在下面的圖中，r是模數(shù)，是幅角 。換句話說lzl=r, θ=arctan(y/x).
因此復(fù)數(shù)可以寫成：
復(fù)數(shù)還有一種極坐標(biāo)形式：
利用它可推出著名的歐拉公式，請(qǐng)見 。
下面是利用復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式可以很方便地做復(fù)數(shù)的乘、除、乘方、開方的運(yùn)算 。
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