棱臺的體積和圓臺的側面積圓臺棱臺側面積公式 _棱臺

文章插圖
圓錐體被平面切割成兩部分。圓錐體的上半部分形狀不變，仍然是圓錐，但下半部分構成棱臺。為了得到正圓錐體的這一部分，我們必須水平切割與底部平行。兩個物體都有不同的體積。在這里學習棱臺和圓臺的體積及圓臺的側面積。

當一個實體(一般圓錐或金字塔)被平行底面的平面截取時, 去掉上面的錐體部分，余下的部分就是棱臺。
為了正確地想象圓錐體，設想一個完全裝滿了冰淇淋的蛋筒。當按圖中所示的方式切割錐體時，在基底與平行平面之間留下的截面就是錐體的截錐體-棱臺。

圓臺的體積
讓我們在這里學習如何利用所給的圖求圓錐的截錐體積。這個公式也可以幫助求出錐體形狀的金字塔截錐體的體積，包括圓臺和棱臺。

我們根據(jù)上圖推導圓臺的體積：
我們知道圓臺的體積是大圓錐體減去小圓錐體，因此有，

其中h=H+h’, 現(xiàn)在需要求出 h’, 根據(jù)相似的三角形，很容易解出：

將h’ 和h=H-h’帶入上面的體積等式做差，就可以得出圓臺的體積公式：

對于廣義的棱臺它的體積公式：
如果棱臺的高為H，上下底面積分別是S1和S2，

因此圓臺體積是棱臺體積的特殊形式。
圓臺的側面積的計算

根據(jù)上圖，小圓錐體和大圓錐體的橫截面是相似的三角形，我們可以看到：

解s, 得出：

由此可以得出圓臺的側面積公式：

例題
圓錐體被水平的平面切割。截錐體圓頂半徑10m，圓底半徑3m 。截錐體高度為24米。如果圓臺高度為24m，則求圓臺的側表面積。

解:
半徑為r1 = 10m, r2 = 3m
高度，H = 24m
首先，我們需要找到截錐體的母線長l，通過公式:
L =√[ + ]
=√(49 + 576)
=√625
= 25米
圓臺的側面= π(r1 + r2)l
LSA =π(10 + 3)25
= 325π平方米。
【棱臺的體積和圓臺的側面積圓臺棱臺側面積公式】

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