對二次曲線系方程用法的一點點補充 _對

文章插圖
先說明一下，二次曲線系在高考大題中極大幾率是不給分的，該知識點在高中階段只能作為參考擴展資料使用，解析幾何在高考中的難度本來就逐年遞減，暴力運算加適當?shù)募记杉纯桑胁豢杀灸┑怪茫坝羞^兩期關(guān)于曲線系的使用方法，鏈接為：
【對二次曲線系方程用法的一點點補充】

圓錐曲線中用二次曲線系解題示范

之前以為圓系方程雖不是書上的內(nèi)容，但講課時多多少少會引入一些，后來發(fā)現(xiàn)事實并非如此，很多學生并不知道圓系方程的存在，更不用提二次曲線系方程的使用方法，甚至新修訂的數(shù)學教材中對圓系方程壓根沒提，加之二次曲線系在高考中的限制性和本身的局限性，所以這塊知識點只能作為學有余地時的課外參考。
曲線系可分為直線系，圓系，二次曲線系，過多的細節(jié)不再敘述，這里需要提一下直線系方程，在上次推送中的第五題，為什么要把兩條漸近線寫成二次的形式，這樣把一次升為二次，類似的二次曲線系也可以“降次”為兩條直線的形式（當然專業(yè)術(shù)語不是這個），這是學習二次曲線系的基礎(chǔ)，例如兩條直線ax+by+c=0和dx+ey+f=0，若升次可寫成(ax+by+c)(dx+ey+f)=0,這個二次方程依舊代表兩條特定的直線。
如果不考慮次數(shù)，將兩個函數(shù)統(tǒng)一寫成F(x,y),G(x,y)，若兩函數(shù)有交點，則過公共點的所曲線的方程可統(tǒng)一寫成μF(x,y)+λG(x,y)=0，兩參數(shù)不同為0，用兩個參數(shù)可以表示出所有的過交點的曲線，包括F(x,y),G(x,y)自身，出于計算簡潔考慮，也可以用一個參數(shù)表示，即F(x,y)+λG(x,y)=0，但這樣就無法表示出G(x,y)本身的曲線，因此若用曲線系解題時容易錯的一點就是忽略其中一條曲線自身也滿足要求，特別是在直線與圓相交時的圓系方程中。
直線系和圓系方程不再給出，重點補充一些二次曲線系方程中的內(nèi)容，圓錐曲線無非就是曲線，直線，線段，點這些基本幾何量的雜燴，二次曲線系在圓錐曲線中的使用常與曲線與兩條直線相關(guān)，設(shè)二次曲線為F(x,y),兩條直線分別為L1(x,y),L2(x,y)，則過兩條直線與曲線所有交點的曲線系方程為F(x,y)+λL1·L2=0，為了計算得簡便有時參數(shù)也可加在二次曲線上，二次曲線系反映的是過所有交點的曲線，點和點的連線構(gòu)成直線，因此可用二次曲線系去處理點本身的問題和直線的問題，剛才提到了二次曲線系可"降次"即退化為直線方程，有時在處理直線過定點或者有關(guān)點的最值等問題時使用二次曲線系可降低題目本身的難度。
關(guān)于如何用二次曲線系證明四點共線，可自行查閱開始的鏈接，先從之前推送的一個題目開始：
這里有兩點需要注意，題目中直線與曲線交于四點A1,A2,P,Q，過四點的雙直線組有A1P,A2Q；A1Q,A2P和A1A2,PQ，在本題中二次曲線系方程中選用了A1P,A2Q，另一組A1A2,PQ中A1A2的方程已知，可利用A1A2,PQ雙直線方程確定出PQ的方程，進而確定出S點的橫坐標，第二，PQ的方程是利用待定系數(shù)確定的，這并非必要，有時候可根據(jù)直線的形式直接從二次曲線系中提取所需的部分，針對這兩點，分別給出以下兩題：
本題需確定出MN過的定點，加之AB所在方程已知，因此可選用PA,PB與橢圓組成二次曲線系方程，這里沒有必要非得把MN所在直線設(shè)出來，因為AB方程為y=0，MN為常規(guī)方程，則過AB，MN的雙直線方程中的項必定有y2,xy,y三項，因此從上圖紅框中抽取包含著三項的式子即可，但若AB所在的直線變成y=1,此時抽取所需項之后成雙直線乘積的形式可能并不簡單，如下題：
本題有兩點需要留意，和上題不同，直線AM，AN與橢圓共三個交點，切線是割線的極限形式，因此可把過A點的切線當做割線，將一個點看作兩個點，加之A點處切線方程已知，因此可選擇AM，AN兩條直線與橢圓組成二次曲線系，再令二次曲線系等價于A點處的切線和MN組成的雙直線方程，確定出MN的方程即可，但此時A點切線為y=1，雙直線方程中所含的項為xy,y2，x,y以及常數(shù)項，從這些項組成的方程中抽取MN的方程并不太容易，因為雙直線方程中不含x2，可據(jù)此先求出二次曲線系方程中的參數(shù) 。
上述兩種是二次曲線系的常見用法，基于此還可引申出其他一些其他的題型，在此不給出了，曲線系本身有局限性，在計算上也不一定比常規(guī)做法簡單，只能作為常規(guī)解法的補充，但在高中同步特別是學習直線與圓時，引入圓系方程可加深對圓本身的理解，算是很不錯的理解工具，最后有興趣的同學可以試著用二次曲線系解一下2020年全國1理科數(shù)學中的圓錐曲線題目。

以上關(guān)于本文的內(nèi)容，僅作參考！溫馨提示：如遇健康、疾病相關(guān)的問題，請您及時就醫(yī)或請專業(yè)人士給予相關(guān)指導!

「愛刨根生活網(wǎng)」www.malaban59.cn小編還為您精選了以下內(nèi)容，希望對您有所幫助：