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文章插圖
黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618 。這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割。是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯提出來的。
當(dāng)整體與較大物體的比例符合1:0.618時(shí) ，人們就會覺得協(xié)調(diào)和美，文藝復(fù)興時(shí)的西方藝術(shù)家長藝術(shù)理論家把黃金分割律作為藝術(shù)建筑必須產(chǎn)物的規(guī)律。
在頂角為36°的等腰三角形中：
以底邊AF為半徑， A為圓點(diǎn)作圓教AO與E點(diǎn) ， E為AO的黃金分割點(diǎn) ，即：
【黃金分割與尺規(guī)作圖正五邊形正五邊形黃金分割】如果能在圓上做出圓心角是36°的等腰三角形，我們就可以作出正10邊形，進(jìn)而得到正五邊形，以下是作圖過程。

圓O上取一點(diǎn)A ，過O作OA垂線，做OA中垂線交OA于B點(diǎn)
以O(shè)為圓心， OB為半徑作圓，交OA垂線于C點(diǎn) 。連接AC 。
以C為圓心， OC為半徑作圓交AC與D點(diǎn) 。
以A為圓心， AD為半徑作圓交AO與E點(diǎn) ，交圓與F點(diǎn) 。

E為OA黃金分割點(diǎn) ， ∠AOF=36°
最后連接AF ，即為正10邊形的邊長。
結(jié)論：頂角為36°的等腰三角形ΔAOF為黃金三角形，即三條邊的比例如下：
證明如下：
根據(jù)下圖我們可以求出sin36°：
BD為∠ABE角平分線， DE⊥BC ，從而構(gòu)成2個(gè)相似三角形，
ΔABC～ΔDBA ，從而可得：
再通過三角函數(shù)半角公式印證：如三角形三邊構(gòu)成以上比例，則為頂角為36°的等腰三角形。（同學(xué)們可以自行推導(dǎo)）
三角函數(shù)半角公式
最后如圖一步步作圓，得到10點(diǎn)交點(diǎn)：
最后連接各交點(diǎn)：
綠色為正10邊形，紅色為正5邊形。

畢達(dá)哥拉斯與黃金分割
一天，畢達(dá)哥拉斯從一家鐵匠鋪路過，被鋪?zhàn)又心怯泄?jié)奏的叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)拇蜩F聲所吸引，便站在那里仔細(xì)聆聽，似乎這聲音中隱匿著什么秘密。他走進(jìn)作坊，拿出一把尺量了一下鐵錘和鐵砧的尺寸，發(fā)現(xiàn)它們之間存在著一種十分和諧的關(guān)系。回到家里，畢達(dá)哥拉斯拿出一根線，想將它分為兩段。怎樣分才最好呢？經(jīng)過反復(fù)比較，他最后確定1：0.618的比例截?cái)嘧顑?yōu)美。后來，德國的美學(xué)家澤辛把這一比例稱為黃金分割律。

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