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龐加萊猜想(原來我們?nèi)绱擞行铱吹健褒嫾尤R猜想”的證明)
總有人羨慕這個(gè)世界上有那么多通才，所謂天文地理，經(jīng)史子集無一不通。在古代那些個(gè)科技文明不算發(fā)達(dá)的年代，人們的科學(xué)儲(chǔ)備普遍不足，各個(gè)領(lǐng)域的積淀都不深厚，所以但凡有精力，并將自己的全部精力放進(jìn)某個(gè)領(lǐng)域研究的先人們，很容易在不同的領(lǐng)域都建立起非凡的成果來的。古代的希臘，中世紀(jì)的歐洲，這樣的天才比比皆是，最著名的應(yīng)該是達(dá)芬奇了吧，我們所知道的是他作為畫家的奇聞軼事，其實(shí)他也是一個(gè)數(shù)學(xué)家，建筑學(xué)家，醫(yī)生，生物學(xué)家，武器專家，哲學(xué)家，物理學(xué)家……中國也有不少，比如宋代時(shí)候的沈括，也就是寫《夢溪筆談》的那位大科學(xué)家，他精通數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，天文，同時(shí)也是一位著名的政治家，也曾做過外交使臣，戍邊大將。毫無疑問，他是一位百科全書式的天才。
達(dá)芬奇
沈括
然而到了近代，便很少有人再被賦予這樣的名頭了，原因在于，近代科學(xué)突飛猛進(jìn)，深度不可同日而語。任何一個(gè)領(lǐng)域要有所建樹，都必須全力以赴地將自己投入進(jìn)去，取得勞動(dòng)成果再也不像遠(yuǎn)古時(shí)代那樣輕而易舉，更有甚者，有些人匆忙一生也鮮見有所得。雖然少，但是仍然有一位百科全書式的通才誕生，他就是亨利·龐加萊。也被譽(yù)為歷史上最后一位通才。他是法國數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，天文學(xué)家，天體力學(xué)家，哲學(xué)家。他也險(xiǎn)些趕在愛因斯坦前面發(fā)表狹義相對論。
亨利·龐加萊
我們這里說的龐加萊最著名的一個(gè)猜想，龐加萊猜想。說是猜想其實(shí)已經(jīng)被證明，應(yīng)該算是龐加萊定理了。龐加萊猜想在1904年被提出，這是拓?fù)鋵W(xué)一個(gè)最基礎(chǔ)重大的猜想。這個(gè)猜想的表述極為簡單：
“如果一個(gè)空間的所有封閉曲線都可以收縮為一個(gè)點(diǎn)，那么這個(gè)空間必定是一個(gè)三維圓球 ?！?br /> 就是這么一句輕描淡寫的話，讓整個(gè)數(shù)學(xué)界奮斗了百年不止。我們可能沒有辦法去理解這句簡單的陳述背后到底蘊(yùn)含著多少精妙的數(shù)學(xué)規(guī)律，但是它的重要性不言而喻。
這個(gè)猜想被譽(yù)為是人類在三維空間研究角度解決的第一個(gè)難題，也是一個(gè)屬于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中帶有基本意義的命題，將有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結(jié)果將會(huì)加深人們對流形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對物理學(xué)和工程學(xué)都將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，甚至?xí)θ藗冇脭?shù)學(xué)語言描述宇宙空間產(chǎn)生影響。
萊茵瓶拓?fù)鋵W(xué)經(jīng)典道具
【龐加萊猜想原來我們?nèi)绱擞行铱吹健褒嫾尤R猜想”的證明】這個(gè)猜想是如此之難，導(dǎo)致在提出幾十年之內(nèi)，毫無進(jìn)展，連龐加萊本人也數(shù)次撤回了他以為正確的證明。直到1960年，在人們無數(shù)次嘗試匯中均未獲得成功之后，人們開始考慮假如不止在三維世界呢，更高維度的情況下，猜想是否容易證明？
于是很快就有人做了這樣的工作，美國數(shù)學(xué)家斯梅爾率先證明了，在五維或者更高維之下，龐加萊猜想成立，此成果一經(jīng)發(fā)布并證實(shí)之后，立時(shí)在世界引起轟動(dòng)，于是1966年數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)授予斯梅爾先生。1983年，美國人弗里德曼和英國人唐納森再接再厲，深化了斯梅爾的結(jié)論，證明了在四維情況的龐加萊猜想也成立，不出意外，當(dāng)年的菲爾茲獎(jiǎng)又是授予了龐加萊猜想相關(guān)研究的數(shù)學(xué)家們。但人們在希望更進(jìn)一步，一舉證明三維的龐加萊猜想時(shí)，徹底陷入死局，用之前的方法理論再也沒有有效的結(jié)果，因此必須創(chuàng)建新理論，才有可能徹底攻克這個(gè)大難題。
很快，有人發(fā)現(xiàn)了1970年代，意大利拓?fù)鋵W(xué)家里奇命名了一個(gè)專有方程Ricci流，這個(gè)有力的工具可以完成一系列的拓?fù)涫中g(shù)，構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)，把不規(guī)則的流形變成規(guī)則的流形，在使用Ricci流進(jìn)行空間變換時(shí)，到后來，總會(huì)出現(xiàn)無法控制走向的點(diǎn) 。這些點(diǎn)，叫做奇點(diǎn) 。如何掌握它們的動(dòng)向，是證明三維龐加萊猜想的關(guān)鍵。于是世界上許多為了龐加萊猜想絞盡腦汁的數(shù)學(xué)家們，心里激動(dòng)起來，龐加萊猜想在有生之年被解決的希望越來越大。
2000年5月24日，美國克雷數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問委員會(huì)把龐加萊猜想列為七個(gè)“千禧年大獎(jiǎng)難題”之一。另外六個(gè)分別是：P對NP問題，霍奇猜想，黎曼假設(shè)，楊－米爾斯理論存在性與質(zhì)量缺口，納維-斯托克斯方程存在性與光滑性，BSD猜想。
這七道問題被研究所認(rèn)為是“重要的經(jīng)典問題，經(jīng)許多年仍未解決 ?！笨死讛?shù)學(xué)研究所的董事會(huì)決定建立七百萬美元的大獎(jiǎng)基金，每個(gè)問題的解決都可獲得百萬美元的獎(jiǎng)勵(lì) 。時(shí)至今日，也僅有龐加萊猜想被完全攻破，另外六大世界難題，目前還沒有任何被徹底破解的可能性。
完全意料之外，2002年，有個(gè)署名為佩雷爾曼的俄羅斯數(shù)學(xué)家在網(wǎng)站上發(fā)布一篇34頁的關(guān)于證明龐加萊的論文立即引起軒然大波，人們急切想論證這樣的論文的正確與否，然而針對于如此重大的一個(gè)猜想來說，34頁的內(nèi)容實(shí)在太簡略了，完全不能打消人們的疑慮，于是人們不斷要求作者給出進(jìn)一步細(xì)節(jié)的過程，佩雷爾曼妥協(xié)了，并且將這樣的過程進(jìn)行了2次，也就是在發(fā)表了3篇文章之后，便再也不做同樣的妥協(xié)了。與此同時(shí)，他也將自己的論文原稿發(fā)給了世界最頂級的拓?fù)鋵W(xué)家，請他們審核檢查，這樣的一步是最明智的做法，也許可以再補(bǔ)充證明里缺失的細(xì)節(jié) 。半年之后，這幾位最頂級的數(shù)學(xué)家們一致認(rèn)為，佩雷爾曼的結(jié)論是對的，只不過還有些許瑕疵需要補(bǔ)充。但是這些都已經(jīng)屬于邊邊角角，佩雷爾曼先生不屑于做這些的下腳料的活了，在他的思路徹底被數(shù)學(xué)界明白之后，最終有人完全彌補(bǔ)了這些小缺憾。終于在2006年，這一百年重大猜想正式升級為定理。
這里，如果不重點(diǎn)介紹一下佩雷爾曼這位超級大神，那這篇文章就要失去大半色彩了。
格里戈里·佩雷爾曼與龐加萊猜想
格里戈里·佩雷爾曼，1966年6月13日出生，猶太人，俄羅斯數(shù)學(xué)家。這位先生跟所有的數(shù)學(xué)天才一樣，從小就展示出了無與倫比的數(shù)學(xué)家氣質(zhì)，6歲便擁有著遠(yuǎn)超同齡人的計(jì)算水平了。1982年，佩先生進(jìn)入圣彼得堡第239中學(xué)學(xué)習(xí)，然而僅僅3個(gè)月之后，16歲的他便代表蘇聯(lián)參加IMO（國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽），并一舉拿下滿分42分的金牌。很快，一所美國的大學(xué)便向他拋出橄欖枝，承諾豐厚的獎(jiǎng)學(xué)金，這時(shí)，佩先生隱士高人的風(fēng)范就開始展現(xiàn)，他毫不猶豫地拒絕了。中學(xué)畢業(yè)后，佩雷爾曼免試進(jìn)入圣彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，并選擇了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界最艱深的分支之一——微分幾何學(xué) 。接下來的求學(xué)之路應(yīng)該算得上是按部就班了。1987年，佩雷爾曼考取了蘇聯(lián)科學(xué)院斯杰克洛夫數(shù)學(xué)研究所的研究生，并于1989年獲得博士學(xué)位。
IMO會(huì)徽
1993年，佩先生訪美，在訪美期間，佩先生解決了第一個(gè)重大的數(shù)學(xué)問題“靈魂猜想” 。美國人再也不希望漏掉這位顯露頭角的天才，加州大學(xué)伯克利分校、斯坦福大學(xué)、麻省理工學(xué)院、普林斯頓大學(xué)等一批著名學(xué)府高薪聘請他任教，但是一如既往都被謝絕了。佩先生最終回到了研究生時(shí)代的研究所工作。佩先生對于數(shù)學(xué)的態(tài)度非常純粹，只想一心一意撲在鐘愛的事業(yè)上，他特別鄙視那些浪費(fèi)國家經(jīng)費(fèi)卻不出多少成績的數(shù)學(xué)南郭先生們，這一特點(diǎn)，也讓他最后還是離開了這里。由于他在數(shù)學(xué)上的成就，歐洲數(shù)學(xué)會(huì)于1996年給他頒發(fā)“杰出數(shù)學(xué)家獎(jiǎng)”，毫無疑問，他沒去領(lǐng)，原因真的不祥。。
2003年佩雷爾曼美國訪問
進(jìn)入到新世紀(jì)，尤其是在他苦思龐加萊猜想十年之久，他的證明被數(shù)學(xué)界承認(rèn)之后，各種贊譽(yù)，采訪蜂擁而至，一時(shí)間，他成了俄羅斯乃至整個(gè)歐洲數(shù)學(xué)界最有名的數(shù)學(xué)家。然而，佩先生對名利毫無興趣，只在乎是否在做自己喜歡的事情，在接受了沒幾次的采訪，便已經(jīng)徹底厭倦，一度玩起了消失。后來來自世界各地的采訪人員們都只是從身邊的朋友那里知道，佩先生大概是個(gè)生活單調(diào)枯燥并且沒有追求的人，食物永遠(yuǎn)只吃黑面包，牛奶，散步永遠(yuǎn)只去林間小路。毫無疑問這樣的生活對于他這樣一位不出世的天才來說真是太不匹配了。
2006年8月在西班牙馬德里召開的國際數(shù)學(xué)大會(huì)上，國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)（IMU）決定將有“數(shù)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)”之稱的菲爾茨獎(jiǎng)授予佩雷爾曼。然而，面對這巨大的榮譽(yù)他卻選擇了拒絕。他也拒領(lǐng)“千禧年數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)”，也拒絕了100萬美元的巨獎(jiǎng)，這個(gè)巨獎(jiǎng)足以讓他和他的母親可以舒適生活下去一輩子。
順便說一句，佩先生這輩子最真心實(shí)意接過的獎(jiǎng)項(xiàng)就只有那枚16歲獲得的IMO金牌了。
我們非常榮幸地見證了“龐加萊猜想”的解決過程，前后經(jīng)歷百年，百年來，無數(shù)數(shù)學(xué)家竭盡腦汁來證明，直到佩雷爾曼橫空出世。在此期間，人們深刻地發(fā)展了拓?fù)鋵W(xué)這一20世紀(jì)以來發(fā)展最迅猛重要的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。一個(gè)厲害的數(shù)學(xué)家不僅僅在于他有可以攻克一切難題的毅力和能力，更在于他能夠?yàn)檫@個(gè)世界創(chuàng)造什么，龐加萊猜想僅僅是亨利·龐加萊提出的眾多猜想中的一個(gè) 。
我們希望這些深刻的猜想和重大難題可以給我們的科學(xué)研究指明目標(biāo)，讓更多的人投身到這樣的事業(yè)中來。

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