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一次函數(shù)的應(yīng)用（八年級數(shù)學(xué)一次函數(shù)的應(yīng)用）
一、確定一次函數(shù)的表達式
1、確定正比例函數(shù)的表達式需要一個條件；
確定一次函數(shù)的表達式需要兩個條件。
2、求一次函數(shù)的表達式主要步驟：
設(shè)出一次函數(shù)表達式 y = kx + b ( k ≠ 0 ) ，根據(jù)已知條件列出有關(guān)方程，解方程求出 k , b 的值，把求出的 k , b 的值帶回表達式。
3、典型例題
① 已知直線 AB 過點 A（2,1）和點 B ，其中點 B 是另一條直線 y = x + 2 與 y 軸的交點。
（1）求直線 AB 的表達式；
（2）點 P 在直線 AB 上，是否存在點 P 使得 △BOP 的面積為 1 ，若存在，寫出所有滿足條件的點 P 的坐標(biāo) ，
若不存在請說明理由。
解：
（1）根據(jù)題意得， A（2,1）， B（0,2），
設(shè)直線 AB 的表達式為 y = kx + b ( k ≠ 0 ) , 則有 2 = b , 1 = 2k + b , 解得 k = -1/2。
所以直線 AB 的表達式為 y = -1/2 x + 2。
（2）設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（a , -1/2 a + 2）,
則 S△BOP = 1/2 OB ? ∣a∣ = 1/2 × 2 ? ∣a∣ = ∣a∣
因為 S△BOP = 1 ，所以 ∣a∣ = 1 ，所以 a = 1 或 a = -1。
所以點 P 的坐標(biāo)為（1 , 3/2）或（-1 ， 5/2）。
二、單個一次函數(shù)圖像的應(yīng)用
1、一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點的求法：
一次函數(shù) y = kx + b ( k ≠ 0 ) 中，當(dāng) x = 0 時， y = b ，點（0 ， b）就是函數(shù)圖像與 y 軸的交點；
當(dāng) y = 0 時， x = -b/k , 點（-b/k ， 0）就是函數(shù)圖像與 x 軸的交點。
2、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系：
從 “數(shù)” 的方面看，當(dāng)一次函數(shù) y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的函數(shù)值為 0 時，相應(yīng)的自變量的值就是方程 kx + b = 0 的解；
從 “形” 的方面看，一次函數(shù) y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的圖像與 x 軸交點的橫坐標(biāo)就是方程 kx + b = 0 的解。
3、典型例題
① 一次函數(shù) y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的圖像如圖所示，則一元一次方程 kx + b = 0 的解為（C）。
A、x = 2 B、y = 2 C、x = -3 D、y = -3
圖（1）
② 如圖①所示，在同一條直線上，甲自點 A 開始追趕勻速前進的乙，圖②表示兩人之間的距離與所經(jīng)過時間的函數(shù)關(guān)系，若乙的速度為 1.5 m/s ，則經(jīng)過 40 s ，甲乙兩人之間的距離為（C）。
A、1.6 m B、1.7 m C、1.8 m D、1.9 m
圖（2）
③ 一輛旅游車從甲地返回乙地，旅游車距乙地的路程 y (km) 與行駛時間 x (h) 的函數(shù)關(guān)系如圖所示。
（1）求甲地與乙地相距多少 km ？
（2）求此函數(shù)的表達式，并求出自變量 x 的取值范圍。
圖（3）
解：
（1）甲地與乙地相距 360 km。
（2）由圖可知，圖像經(jīng)過點（1.5 ， 240）和（0 , 360），
設(shè)函數(shù)表達式為 y = kx + b ，則 360 = b , 240 = 1.5 k + b ,
解得 k = -80 , b = 360。所以 y = -80x + 360。
當(dāng) y = 0 時，則 0 = -80x + 360 ，解得 x = 4.5。
所以自變量 x 的取值范圍是 0 ≤ x ≤ 4.5。
三、兩個一次函數(shù)圖像的應(yīng)用
在同一坐標(biāo)系中，同時出現(xiàn)兩個一次函數(shù)的圖像，即兩條直線，利用所給圖像的位置關(guān)系，交點坐標(biāo) ，與 x 軸， y 軸的交點坐標(biāo) ，讀取其中所要表達的信息，要理解交點坐標(biāo)的含義。
在兩個函數(shù)的圖像中，哪個圖像在上方，哪個函數(shù)圖像對應(yīng)的函數(shù)值就大。
1、利用兩個一次函數(shù)的圖像解決實際問題：
如圖表示一艘輪船和一艘快艇沿相同路線從甲港出發(fā)到乙港行駛過程中路程隨時間變化的圖像，根據(jù)圖像回答下列問題：
（1）在輪船和快艇中，快艇的速度較大；
（2）當(dāng)時間 0 < x < 4 時，快艇在輪船的后面；當(dāng)時間 4 < x < 8 時，快艇在輪船的前面。
（3）快艇出發(fā) 2 小時趕上輪船。
圖（4）
2、看圖像作決策：
某通訊公司推出 ①、② 兩種通訊收費方式供用戶選擇，其中一種有月租費，另一種無月租費，
且兩種收費方式的通訊時間 x （分鐘）與收費 y （元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。
圖（5）
（1）有月租的收費方式是 ① （填 ① 或 ②），月租費是 30 元。
【一次函數(shù)的應(yīng)用八年級數(shù)學(xué)一次函數(shù)的應(yīng)用】（2）收費方式 ① 中， y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y1 = 0.1x + 30 ；
收費方式 ② 中， y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y2 = 0.2x 。
（3）根據(jù)圖像可知，當(dāng)通話時間在 0 ≤ x < 300 分鐘時，選擇通話方式 ② 實惠；
當(dāng)通話時間在 400 分鐘時，應(yīng)使用通話方式 ① 比較合算。
3、典型例題
某化妝品公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案：
方案1：沒有底薪，只拿銷售提成；
方案2：底薪加銷售提成。
已知每件商品的銷售提成方案2 比方案1 少 7 元，設(shè)銷售人員每月銷售 x （件）商品時的月工資為 y （元），如圖所示，
L1 表示方案 1 中 y 與 x 之間的函數(shù)圖像， L2 表示方案 2 中 y 與 x 之間的函數(shù)圖像。
圖（6）
（1）求 L1 所表示的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求方案 2 中每月付給銷售人員的底薪是多少元？
（3）當(dāng)銷售數(shù)量為多少時，兩種工資方案所得到的工資數(shù)額相等？
解：
（1） L1 所表示的函數(shù)關(guān)系式為 y1 = 14x。
（2）因為每件商品的銷售提成方案2 比方案1 少 7 元，所以 y2 = ( 14 – 7 ) x + b ,
把（30 ， 560 ）代入得， 560 = 7 × 30 + b ，解得 b = 350 ，
所以方案 2 中每月付給銷售人員的底薪是 350 元。
（3）由題意得：方案1 每件的提成是 420 ÷ 30 = 14 （元），所以方案2 每件的提成是 14 – 7 = 7 （元）。
設(shè)銷售 m 件時兩種工資方案所得到的工資數(shù)額相等，由題意得， 14m = 350 + 7m , 解得 m = 50。
當(dāng)銷售數(shù)量為 50 件時，兩種工資方案所得到的工資數(shù)額相等。

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