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全等三角形（全等三角形如何判定？）
一、三角形全等的判定
1.三組對應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS) 。
2.有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS) 。
3.有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA) 。
4.有兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS) 。
5.直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL) 。
二、全等三角形的性質(zhì)
①全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。
②全等三角形的周長、面積相等。
③全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。
④全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等。
⑤全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。
三、找全等三角形的方法
(1)可以從結(jié)論出發(fā) ，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；
(2)可以從已知條件出發(fā) ，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；
(3)從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；
(4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。
三角形全等的證明中包含兩個(gè)要素：邊和角。
缺個(gè)角的條件：
缺條邊的條件：
四、構(gòu)造輔助線的常用方法
1.關(guān)于角平分線的輔助線
當(dāng)題目的條件中出現(xiàn)角平分線時(shí) ，要想到根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線。
角平分線具有兩條性質(zhì)：
①角平分線具有對稱性；
②角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
關(guān)于角平分線常用的輔助線方法：
(1)截取構(gòu)全等
如下左圖所示， OC是∠AOB的角平分線， D為OC上一點(diǎn) ， F為OB上一點(diǎn) ，若在OA上取一點(diǎn)E ，使得OE=OF ，并連接DE ，則有△OED≌△OFD ，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。
例：如上右圖所示， AB//CD ， BE平分∠ABC ， CE平分∠BCD ，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD 。
提示：在BC上取一點(diǎn)F使得BF=BA ，連結(jié)EF 。
(2)角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等
利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如下左圖所示，過∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)D向角兩邊OA、OB作垂線，垂足為E、F ，連接DE、DF 。
則有：DE=DF ， △OED≌△OFD 。
例：如上右圖所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC 。求證：∠ADC+∠B=180
(3)作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形
如下左圖所示，從角的一邊OB上的一點(diǎn)E作角平分線OC的垂線EF ，使之與角的另一邊OA相交，則截得一個(gè)等腰三角形（△OEF），垂足為底邊上的中點(diǎn)D ，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì) 。
如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，從而得到一個(gè)等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂，等腰歸” 。
例：如上右圖所示，已知∠BAD=∠DAC ， AB>AC,CD⊥AD于D ， H是BC中點(diǎn) 。
求證：DH=（AB-AC）
提示：延長CD交AB于點(diǎn)E ，則可得全等三角形。問題可證。
(4)作平行線構(gòu)造等腰三角形
作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情況：
①如下左圖所示，過角平分線OC上的一點(diǎn)E作角的一邊OA的平行線DE ，從而構(gòu)造等腰三角形ODE 。
②如下右圖所示，通過角一邊OB上的點(diǎn)D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長線相交于點(diǎn)H ，從而構(gòu)造等腰三角形ODH 。
2.由線段和差想到的輔助線
1
遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí) ，一般方法是截長補(bǔ)短法：
①截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；
②補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。
截長補(bǔ)短法作輔助線。
在△ABC中， AD平分∠BAC ， ∠ACB＝2∠B ，求證：AB＝AC＋CD 。
因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線
所以∠BAD=∠CAD
在AB上作AE=AC
又AD=AD
由SAS得：△EAD≌△CAD
【全等三角形全等三角形如何判定？】所以∠EDA=∠CDA,ED=CD
又因?yàn)椤螩DA=∠B+∠BAD, ∠BDA=∠C+∠CAD, ∠C=2∠B
所以∠BDE=∠BDA-∠EDA
=(∠C+∠CAD)-∠CDA
=(2∠B+CAD）-（∠B+∠BAD）
=∠B
所以△BED為等腰三角形
所以EB=ED=CD
所以AB=AE+EB=AC+CD
2
對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。
在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí) ，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。
例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
（法1）證明：將DE兩邊延長分別交AB、AC 于M、N ，在△AMN中， AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）
在△BDM中， MB＋MD＞BD；（2）
在△CEN中， CN＋NE＞CE；（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC
（法2）如圖1-2 ，延長BD交 AC于F ，延長CE交BF于G ，在△ABF和△GFC和△GDE中有：
AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形兩邊之和大于第三邊）（1）
GF＋FC＞GE＋CE（同上）（2）
DG＋GE＞DE（同上）（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC 。
3
在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí) ，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：
例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn) ，求證：∠BDC＞∠BAC 。
分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同一個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置， ∠BAC處于在內(nèi)角的位置。
證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E ，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC＞∠DEC ，同理∠DEC＞∠BAC ，
∴∠BDC＞∠BAC
證法二：連接AD ，并延長交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角
∴∠BDF＞∠BAD ，同理， ∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC 。
注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí) ，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。
3.由中點(diǎn)想到的輔助線
在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn) ，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。
(1)中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形
即如圖1 ， AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（因?yàn)棣BD與ΔACD是等底同高的）。
例1 如圖2 ， ΔABC中， AD是中線，延長AD到E ，使DE=AD ， DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2 ，求：ΔCDF的面積。
(2)倍長中線
已知中點(diǎn)、中線問題應(yīng)想到倍長中線，由中線的性質(zhì)可知，一條中線將中點(diǎn)所在的線段平分，可得到一組等邊，通過倍長中線又可得到一組等邊及對頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長AD到E ，使得AD=AE ，連結(jié)BE 。
4.其他輔助線做法
(1)延長已知邊構(gòu)造三角形
在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決．
例4．如圖4 ，在△ABC中， AC=BC ， ∠B=90° ， BD為∠ABC的平分線．若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a ，求BE的長．
延長AD、BC交于F,
∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,
∴∠DAE=∠CBE,
又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,
∴△ACF≌△BCE,
∴BE=AF,
∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,
∴△ABD≌△FBD,
∴AD=FD=1/2AF, AD為a
∴BE=2a
(2)連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。
例如：如圖8-1：AB∥CD ， AD∥BC 求證：AB=CD 。
分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形全等來解決。
(3)連接已知點(diǎn) ，構(gòu)造全等三角形
例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn) ，且AB＝DC ， AC＝BD ，求證：∠A＝∠D 。
分析：要證∠A＝∠D ，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC ， AC＝BD ，若連接BC ，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D 。
(4)取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形
例如：如圖11-1：AB＝DC ， ∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB 。
分析：由AB＝DC ， ∠A＝∠D ，想到如取AD的中點(diǎn)N ，連接NB ， NC ，再由SAS公理有△ABN≌△DCN ，故BN＝CN ， ∠ABN＝∠DCN 。下面只需證∠NBC＝∠NCB ，再取BC的中點(diǎn)M ，連接MN ，則由SSS公理有△NBM≌△NCM ，所以∠NBC＝∠NCB 。問題得證。

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