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麥克斯韋方程組詳解（全面解析最美物理公式：麥克斯韋方程組）
很早以前，人們就發(fā)現(xiàn)了電荷之間和磁體之間都有作用力，但是最初人們并未把這兩種作用聯(lián)系起來。后來，人們發(fā)現(xiàn)有些被閃電劈中的石頭會具有磁性，于是猜測出電與磁之間可能存在某種關(guān)系。直到奧斯特、法拉第等人的努力，人們終于認識到電與磁的關(guān)系密不可分，人們利用磁鐵制造發(fā)電機，也利用電流制造電磁鐵。
但是，電與磁之間最深刻的物理關(guān)系是由麥克斯韋搞揭示的，麥克斯韋通過四個方程組成的方程組闡釋了電與磁——這一對宇宙間最深刻的作用力之間的聯(lián)系，并將電場和磁場統(tǒng)一了起來。麥克斯韋方程組從誕生起就一直被人們認為是世界上最美的物理公式。
這篇文章將帶領(lǐng)大家了解一下麥克斯韋方程組的發(fā)現(xiàn)過程和具體含義，在這個過程中需要介紹一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 。雖然對于大部分人來說，理解這個過程是十分辛苦的，但是當(dāng)你真正理解麥克斯韋方程組時，你會和我一樣驚嘆于它的和諧和美麗。
場和場線 1758年，法國物理學(xué)家?guī)靷愖钤缪芯苛穗姾芍g的作用力，并提出了庫倫定律：兩個電荷之間的作用力與電荷量的乘積成正比，與二者之間的距離平方成反比。
從那以后，科學(xué)家們就一直在爭論電荷之間作用力的方式：有些人認為電荷之間的作用力不需要時間和空間，一個電荷一瞬間就會對另一個電荷產(chǎn)生作用力，這就是所謂的“超距作用” 。
隨著科學(xué)的發(fā)展，超距作用的觀點越來越被人們懷疑。終于，英國科學(xué)家法拉第提出了“電場”的概念。
法拉第認為：在電荷周圍存在著一種物質(zhì) ，這種物質(zhì)看不見也摸不著，但是它是存在的，它可以在空間中傳遞。當(dāng)電場傳遞到另一個電荷處時，就會對另一個電荷產(chǎn)生力的作用。反過來，第二個電荷也會產(chǎn)生電場，從而對第一個電荷產(chǎn)生反作用力。也就是說：電荷之間的作用是通過電場傳遞的。
1851年，法拉第還創(chuàng)造性的提出了一種描述電場的方法：用一組帶箭頭的曲線表示電場，曲線的切線方向表示電場的方向，曲線的疏密描述電場的強弱。比如，一個單獨的正電荷和一正一負兩個電荷在空間中形成的電場如下：
這種描述場的方法稱為“場線” ，場線可以用來描述電場，也可以用來描述磁場。人們可以通過各種方法來模擬場線，例如：法拉第利用磁鐵周圍的鐵屑模擬了磁感線的情況。
場和場線的提出為后來人們研究許多問題提供了方便。
電生磁、磁生電第一個發(fā)現(xiàn)電與磁關(guān)系的人是丹麥物理學(xué)家奧斯特。
1820年，奧斯特在一次給學(xué)生上課的時候，偶然間把一個通電直導(dǎo)線放在了小磁針上方，他驚奇的發(fā)現(xiàn)：小磁針居然偏轉(zhuǎn)了！在場的學(xué)生并沒有發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象的驚人之處，只有奧斯特為這個發(fā)現(xiàn)倍感興奮。
經(jīng)過仔細的研究，奧斯特提出了電流對小磁針的作用方式。在我們今天的觀點看來，奧斯特其實闡明了通電導(dǎo)線的周圍存在著以導(dǎo)線為圓心的環(huán)形磁場。后來，科學(xué)家安培指明了磁場的方向判斷方法：右手螺旋定則。
在奧斯特發(fā)現(xiàn)電流可以產(chǎn)生磁場的消息傳遍世界時，英國的法拉第剛滿30歲，他當(dāng)時還在化學(xué)家戴維的手下干活。許多人懷疑戴維處于嫉妒使用各種方法壓制法拉第，例如強迫法拉第進行光學(xué)研究。直到1829年戴維去世后，法拉第才開始著手研究自己感興趣的電磁學(xué)問題。
法拉第認為：既然電流可以產(chǎn)生磁場，那么磁鐵也應(yīng)該可以產(chǎn)生電流。為此，法拉第進行了一系列的物理實驗，終于在1831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。
在一個鐵環(huán)的兩側(cè)繞上兩條不同的導(dǎo)線，第一個導(dǎo)線上通過電流時，另一側(cè)的導(dǎo)線上也產(chǎn)生了電流。法拉第解釋說：這是因為第一個電路的電流發(fā)生了變化，所產(chǎn)生的磁場也發(fā)生了變化，而變化的磁場可以產(chǎn)生電流。
我們還可以做這樣的實驗：將一根磁鐵插入螺線管，螺線管連接到一個電流表上，也會發(fā)現(xiàn)電流表上有讀數(shù) 。這也滿足法拉第所說的“在運動和變化的過程中，磁場可以產(chǎn)生電流 ?！?br /> 通過奧斯特、法拉第等人的發(fā)現(xiàn) ，人們認識到電和磁并不是割裂的，而是緊密相關(guān)的，甚至有人認為：電和磁似乎是同一個問題的兩個方面。
麥克斯韋方程組的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 1860年，比法拉第年輕四十歲的青年科學(xué)家麥克斯韋來到了法拉第面前，他把他之前發(fā)表的論文《論法拉第的力線》遞交給法拉第。法拉第大喜過望，并對麥克斯韋說：你不應(yīng)該局限于用數(shù)學(xué)解釋我的觀點，而要有所創(chuàng)新。
在法拉第的鼓勵下，麥克斯韋進一步開拓了自己的觀點，并最終總結(jié)成四個方程組成的麥克斯韋方程組。為了理解這四個方程，我們首先需要兩種數(shù)學(xué)運算：通量和路徑積分。
第一個概念是通量。如果電場E垂直穿過一個平面S ，我們把電場E和面積S的乘積稱為電場通量。如果電場E和平面S的法線夾一定的夾角，我們可以把電場進行正交分解，再用垂直于平面的分量乘以面積得到電場通量。
因為電場E可以用電場線的疏密表示，所以用電場E乘上面積S ，實際上表示的就是穿過這個面的磁感線根數(shù) 。假如各處電場不同，就需要把面積分割成無限多份，用每一小份的電場通量相加。
用數(shù)學(xué)表達式表示就是：
同樣，磁場穿過一個面時也可以用同樣的方法定義磁通量。用積分符號寫作：
第二個概念是路徑積分。如果一個電場E沿著路徑AB的方向，用電場E乘以路徑AB的長度L ，就得到路徑積分。如果電場E與路徑AB方向夾一定角度，就把電場進行分解，把沿著AB方向的場分量乘以路徑長度L 。磁場也有類似的路徑積分。
如果電場或磁場各處不同，我們就可以把路徑AB分成無窮多份，把每一份的路徑積分加起來，表示成：
需要注意路徑并不一定是直線，沿著曲線也有路徑積分。
麥克斯韋方程組好了，現(xiàn)在我們知道了一個矢量可以計算通量，也可以計算路徑積分。這樣我們就可以來理解這四個偉大的方程了。
1.電場的有源性
麥克斯韋方程組的第一個方程用數(shù)學(xué)表示了法拉第的第一個觀點：電荷會在周圍空間產(chǎn)生電場。正電荷會向外發(fā)射電場線，負電荷會從周圍吸收電場線。電荷的電量越大，所發(fā)射或者吸收的電場線越多。
如果我們用一個閉合曲面包圍住一個電荷，那么這個閉合曲面上的電場通量就代表了電場線的根數(shù) 。由于這些電場線都是由曲面內(nèi)的電荷發(fā)射出來的，所以它正比于曲面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和。需要注意的是：無論我們所選取的曲面形狀如何，只要它包圍的電荷相同，它的電通量就是相同的。如果電荷在閉合曲面外，它發(fā)射的電場線就既要穿入曲面，又要穿出曲面，這樣對曲面的電通量就沒有貢獻，因此在方程中考慮的電荷量都是曲面內(nèi)部的電荷。
用公式寫作
在這個公式中，等號左邊部分表示閉合曲面上的電通量，也就是穿出曲面的電場線根數(shù) ，等號右邊的Σq表示曲面內(nèi)的電荷代數(shù)和， ε0稱為真空介電常數(shù) 。這個方程就是麥克斯韋方程組中的第一個方程，也稱為電場高斯定律。這個方程告訴我們：電場是有源場，它的源就是空間中的電荷。
2. 磁場的無源性
與電場不同，無論是由磁體產(chǎn)生的磁場，還是由電流產(chǎn)生的磁場，磁感線總是閉合的。磁感線既沒有出發(fā)點，也沒有結(jié)束點。比如我們觀察通電螺線管的磁場就會發(fā)現(xiàn)這個特點。
于是，如果我們在空間中做一個閉合曲面，磁感線要么不穿透這個曲面，要么一定是既穿入這個曲面，又穿出這個曲面，因此磁感線的通量為零。
這樣，麥克斯韋方程組的第二個方程就可以寫作：
這個方程稱為磁場高斯定律，它告訴我們：磁場是無源的，既沒有起點也沒有終點，而總是閉合的。
3 磁場的環(huán)路積分
麥克斯韋方程組的第三個方程是為了解釋法拉第電磁感應(yīng)定律。
比如，當(dāng)一個磁鐵靠近一個導(dǎo)線圈時，導(dǎo)線圈中會產(chǎn)生感應(yīng)電流。法拉第等人認為：這是因為磁鐵靠近時，線圈中的磁通量發(fā)生了變化，而且產(chǎn)生的電動勢正比于磁通量的變化率。
麥克斯韋經(jīng)過思考，得出了一個設(shè)想：電動勢的產(chǎn)生是由于有一種電場力推動了電荷，因此變化的磁場可以產(chǎn)生的是渦旋狀的電場。假如有個導(dǎo)體恰好處于渦旋電場之中，就會在導(dǎo)體中產(chǎn)生感應(yīng)電流。而且，這個渦旋電場的大小是正比于磁通量的變化率的。
于是，麥克斯韋把第三個方程寫作：
方程左邊表示沿著一個閉合路徑的電場路徑積分，它可以表示這個閉合路徑上的電動勢。而右側(cè)表示磁場變化率的面通量，即磁通量的變化率。
這個方程用數(shù)學(xué)解釋了法拉第電磁感應(yīng)定律的成因，也可以描述成渦旋電場是有旋場。
4. 磁場的路徑積分
奧斯特時代起，人們就認識到電流周圍存在磁場，而且磁感應(yīng)強度正比于電流。麥克斯韋把這個特點用數(shù)學(xué)表達式寫作：
等號左邊表示一個任意的閉合路徑上的磁場路徑積分，右側(cè)表示這個閉合路徑所包圍的電流之和。
不過，麥克斯韋的思想不僅僅局限于此。麥克斯韋設(shè)想：既然變化的磁場可以形成渦旋電場，那么變化的電場自然也能形成磁場。例如：在一個電路中有電容器，在電容器充電和放電的過程中，導(dǎo)線周圍存在磁場。而電容器中的電場會發(fā)生變化，它的地位應(yīng)該等同于電流。于是，麥克斯韋提出了位移電流的概念：變化的電場相當(dāng)于電流。
最終，麥克斯韋把第四個方程寫作：
等號左邊表示沿著任意一個路徑的磁場路徑積分，右側(cè)的μ0表示真空磁導(dǎo)率， I表示電流， Ф表示這個路徑上所包圍的電場通量。這個方程表示：電流和變化的電場都可以引起磁場。
麥克斯韋的預(yù)言麥克斯韋方程組是人類有史以來最美的物理學(xué)方程，它具有強烈的對稱性和自洽性。它告訴我們：電場和磁場并非單獨存在，而是統(tǒng)一于電磁場之中。
不僅如此，麥克斯韋還經(jīng)過計算證明：如果在真空中存在一個振蕩的電場，那么在振蕩電場的周圍就會產(chǎn)生磁場，而這個磁場又會進一步產(chǎn)生電場…如此往復(fù) ，電磁場就可以向遠處傳播，形成電磁波。
麥克斯韋計算了電磁波的速度，發(fā)現(xiàn)電磁波在真空中的速度剛好等于光速，于是大膽預(yù)言：光就是一種電磁波。
至此經(jīng)典物理學(xué)走到了極致，物理學(xué)家們的信心極度膨脹。以至于1900年物理學(xué)家集會時，開爾文爵士自豪的宣稱：物理學(xué)的大廈已經(jīng)基本建成，后世只要再做一些修修補補的工作就可以了。
只可惜，麥克斯韋沒有親手證實它所預(yù)言的電磁波， 1879年，年僅48歲的麥克斯韋與世長辭。而在同一年，現(xiàn)代物理學(xué)最偉大的科學(xué)家愛因斯坦剛剛出生。
在麥克斯韋之前，最偉大的物理學(xué)家是牛頓，因為他的萬有引力定律統(tǒng)一了天上和地下，他證明了月亮和蘋果滿足同樣的物理規(guī)律。在麥克斯韋之后最偉大的物理學(xué)家是愛因斯坦，因為他的狹義相對論和廣義相對論統(tǒng)一了時間與空間，讓人們認識到世界實際上是在一個統(tǒng)一的時空中存在的。而在牛頓和愛因斯坦之間，最偉大的物理學(xué)家就是麥克斯韋，他的方程組統(tǒng)一了電場與磁場，他預(yù)言的電磁波成為現(xiàn)代最重要的通訊方式。甚至于，愛因斯坦所提出的相對論，一部分原因也是為了處理麥克斯韋方程組的協(xié)變性問題。
有些人的壽命雖然不常，但是他光輝的思想?yún)s永遠留在了世界上。
【麥克斯韋方程組詳解全面解析最美物理公式：麥克斯韋方程組】麥克斯韋

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