相交線與平行線相交線與平行線經(jīng)典題 _相交

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相交線與平行線（相交線與平行線經(jīng)典題）
知識(shí)要點(diǎn)：
相交線與平行線知識(shí)框圖
一、相交線
1．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的相關(guān)概念
（1）鄰補(bǔ)角：
如果兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.
（2）對(duì)頂角：
如果一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角互為對(duì)頂角.
如圖，直線 AB 和 CD 相交于 O 點(diǎn)，形成四個(gè)角，分別是 ∠1，∠2，∠3，∠4 .
其中鄰補(bǔ)角有 4 對(duì)，分別是 ∠1 和 ∠2，∠2 和 ∠3，∠3 和 ∠4，∠4 和 ∠1 ；
對(duì)頂角有 2 對(duì)，分別是 ∠1 和 ∠3，∠2 和 ∠4 .
2.鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的性質(zhì)
鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；對(duì)頂角相等.
3.鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的應(yīng)用
【例題1】如圖，直線 a，b 相交，∠1=45°，求 ∠2，∠3，∠4 的度數(shù)．
解：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 45° = 135° .
∵ ∠3 = ∠1，∠4 = ∠2，
∴ ∠3 = 45°，∠4 = 135° .
二、垂線
1.垂線的相關(guān)概念
（1）垂直：
兩條直線相交，有一個(gè)夾角是直角，這兩條直線互相垂直；
（2）垂線：
兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線 .
2.垂直的性質(zhì)與判定
如圖，
（1）垂直的性質(zhì)：
∵ AB⊥CD ( 已知 )，
∴ ∠AOC = 90° ( 垂直的定義 ).
（2）垂直的判定：
∵ ∠AOC=90° ( 已知 )，
∴ AB⊥CD ( 垂直的定義 ) .
3.垂線的性質(zhì)
在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 .
4.垂線的應(yīng)用
【例題2】如圖，直線 AB 與 CD 相交于點(diǎn) O，OE⊥AB 于點(diǎn) O，∠1 = 40°，
求 ∠2 和 ∠COA 的度數(shù) .
解：
∵ OE⊥AB，
∴ ∠BOE = 90°，
∵ ∠2 + ∠BOE + ∠1 = 180°，
∴ ∠2 = 180° – ∠BOE – ∠1 = 50° .
又 ∵ ∠2 + ∠COA = 180°，
∴ ∠COA = 180° – ∠2 = 130° .
三、點(diǎn)到直線的距離
1.垂線段的定義：
如圖，直線 PC⊥AB，把線段 PC 叫做點(diǎn) P 到直線 AB 的垂線段 .
2.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短 .
如圖，下列選項(xiàng)中最短的線段是（ B ）
【相交線與平行線相交線與平行線經(jīng)典題】A.PA B.PB C.PC D.PD
3.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離 .
如圖，線段 PB 的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn) P 到直線 m 的距離 .
四、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
1.三線八角
如圖，直線 AB，CD 被直線 EF 所截，構(gòu)成八個(gè)角，簡(jiǎn)稱“三線八角”.
（1）同側(cè)同向 —— 同位角：
例如 ∠1 和 ∠5，圖中還有 ∠4 和 ∠8，∠2 和 ∠6，∠7 和 ∠3；
（2）兩側(cè)異向 —— 內(nèi)錯(cuò)角：
例如 ∠3 和 ∠5，圖中還有 ∠4 和 ∠6；
（3）同側(cè)異向 —— 同旁內(nèi)角：
例如 ∠3 和 ∠6，圖中還有 ∠4 和 ∠5 .
2.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
【例題3】如圖，
① ∠1 與 ∠4 是同位角；② ∠2 與 ∠1 是內(nèi)錯(cuò)角 ; ③ ∠3 與 ∠1 是同旁內(nèi)角 .
3.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的應(yīng)用
【例題4】如圖，
① ∠1 和 ∠8 是直線 AF 與直線 AG 被直線 DE 所截形成的同旁內(nèi) 角 ;
② ∠4 和 ∠8 是直線 AF 與直線 AG 被直線 DE 所截形成的同位角 ;
③ ∠2 和 ∠8 是直線 AF 與直線 AG 被直線 DE 所截形成的內(nèi)錯(cuò) 角 .
五、平行線
1．平行線的定義
（1）觀察思考：
在轉(zhuǎn)動(dòng)直線 a 的過(guò)程中，有沒(méi)有直線 a 與直線 b 不相交的位置呢？
（2）定義及表示方法：
在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線 .
直線 a 與 b 平行，記作 a∥b .
（3）總結(jié)：
同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有兩種：① 平行，② 相交 .
2.平行公理及推論
（1）經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.
（2）推論：
如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 .
如圖，
∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c .
3.平行線的判定
（1）判定方法 1：
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.
簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線平行.
如上圖所示，用直尺和三角尺作出直線 AB，CD，
得到 AB∥CD 的理由是同位角相等，兩直線平行．
結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言表述平行線判定方法：
∵ ∠1=∠2 ( 已知 )，
∴ AB∥CD ( 同位角相等，兩直線平行 ) .
（2）判定方法 2：
兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平行.
簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.
如圖，
∵ ∠1=∠2，
∴ a∥b（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.
（3）判定方法 3：
兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行 .
簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 .
如圖，
∵ ∠1 + ∠4 = 180°，
∴ a∥c（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.
（4）判定方法 4：
在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行 .
∵ b⊥a , c⊥a ,
∴ b∥c .
4.平行線的性質(zhì)
（1）兩直線平行，同位角相等；
（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) .
【例題5】如圖所示，已知 AB∥CD .
（1）∠ABE = 130°，∠CDE = 152°，求 ∠E 的度數(shù)；
（2）請(qǐng)猜想 ∠B + ∠E + ∠D 的度數(shù)，并說(shuō)明理由 .
參考答案：
（1）∠E = 78°；
（2）∠B + ∠E + ∠D = 360° .
（提示：過(guò)點(diǎn) E 作 EF∥AB . ）

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