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文章插圖
前言本篇主要學(xué)習(xí)下線代中向量與矩陣相關(guān)的知識(shí) ，包括多維向量?jī)?nèi)積與機(jī)器學(xué)習(xí)中遞推的關(guān)系，矩陣的基礎(chǔ)概念和計(jì)算等；在書(shū)中也只提到與機(jī)器學(xué)習(xí)有關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) ，整體難度不算高；
正文向量的定義假設(shè)現(xiàn)在有兩個(gè)點(diǎn) A和B ，那么 A->B 就是一個(gè) 有位置（A的位置）有方向（A指向B的方向）有大小（AB線段的長(zhǎng)度）的向量
一個(gè)向量可以由如下三種方式表達(dá)
坐標(biāo)表示如果我們建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，把A點(diǎn)移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn) ， B點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)的位置不變，那么B點(diǎn)的坐標(biāo)就可以看作是向量 A->B 的坐標(biāo)表示
也可以把這個(gè)定義推廣到三維甚至N維直角坐標(biāo)系上，下圖表示 A(1, 1, 1) 向量
向量的大小向量的大小用 |a| 表示，與絕對(duì)值符號(hào)相同
向量的大小即向量的長(zhǎng)度，通過(guò)直角坐標(biāo)系可以很方便的理解，比如 a = (3, 4) ，根據(jù)勾股定理，該向量的大小就是 5
再推廣到三維， a = (1, 2, 2) ，那么向量 a 的大小就是：
向量?jī)?nèi)積向量的內(nèi)積定義為兩個(gè)向量的大小乘以向量夾角的 cos
a和b ，只要有一個(gè)為0 ，那么內(nèi)積就是0
同理，這種解法也適用于三維向量
柯西不等式因?yàn)槿我獾摩榷紩?huì)另 -1 < cos(θ) < 1 ，所以很容易推出下面的不等式
結(jié)合這個(gè)不等式，可以得到如下三種情況
兩個(gè)向量方向相反時(shí) ，內(nèi)積最小兩個(gè)向量方向相同是，內(nèi)積最大兩個(gè)向量方向夾腳在 0 ~ 180° 時(shí) ，內(nèi)積大小會(huì)從最大到最小書(shū)中特意提到，第一條性質(zhì)（兩個(gè)向量方向相反時(shí) ，內(nèi)積最?。?是日后梯度下降法的基本原理
內(nèi)積的坐標(biāo)表示還是首先以二維直角坐標(biāo)系為例，內(nèi)積可以以坐標(biāo)的形式進(jìn)行計(jì)算
三維向量一樣有這樣的性質(zhì)
多維向量一般化（重點(diǎn)）關(guān)于推導(dǎo) ，我也嘗試用我撇腳的數(shù)學(xué)推算過(guò) ，算了一兩頁(yè)紙發(fā)現(xiàn)越算越復(fù)雜，推不出來(lái) ，找了個(gè)別人的推導(dǎo)過(guò)程，有興趣的可以研究下
看到這個(gè)向量?jī)?nèi)積公式，有沒(méi)有想到之前提到的神經(jīng)單元的加權(quán)輸入：
就可以表現(xiàn)為兩個(gè)向量的內(nèi)積加上偏置，向量 w = (w1, w2, w3, w4, …) ， x = (x1, x2, x3, x4, …) ，即：
矩陣的定義矩陣是數(shù)的陣列，橫排為行，豎排為列，行數(shù)與列數(shù)相同稱為方陣（類比正方形）
以及如下圖X,Y所示的行向量和列向量
可以定義一個(gè) m行n列的向量，第 i 行 j 列的元素用 aij 表示，
單位矩陣單位矩陣是一個(gè)特殊的矩陣，矩陣的斜對(duì)角線元素(aii)都是1 ，其他元素都是0
矩陣的運(yùn)算矩陣比較、和差常數(shù)積A和B相等的含義是兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的元素包括行數(shù)列數(shù)完全相等
兩個(gè)矩陣的和、差、常數(shù)倍都符合四則運(yùn)算，和與差都是相同位置的元素直接進(jìn)行加減，常數(shù)倍的乘法直接乘到對(duì)應(yīng)的元素中去，如下：
矩陣乘積（重點(diǎn)）把向量A的i行看作行向量，向量B的j列看作列向量，其內(nèi)積作為結(jié)果的 i行j列的元素
比如，兩個(gè)向量乘積計(jì)算過(guò)程如下：
哈達(dá)瑪積Hadamard積適用于兩個(gè)相同形狀的矩陣，符號(hào)的含義是相同行數(shù)相同列數(shù)的數(shù)相乘，作為新矩陣對(duì)應(yīng)函數(shù)和列數(shù)的值

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