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數(shù)學(xué)中什么叫做“張量”？對于數(shù)域 K 上的 n 維線性空間 V，當(dāng)給定一組基 {ε?, ε?, ..., ε_n} 后，其中任意一個向量（也叫矢量） α 都對應(yīng)唯一的坐標(biāo)系數(shù) (a?, a?, ..., a_n) 使得：又有另外一個向量 β = b?ε? + b?ε? + ... + b_nε_n，將 α 和 β 自然相乘，有：令，則有：稱 ω 為二階（秩）張量，在 V 確定一組基 {ε?, ε?, ..., ε_n}后，對應(yīng) 一個系數(shù)方陣 Z 。當(dāng)然，這個定義是非常粗糙的，甚至有如下缺陷：張量和向量對并不一一對應(yīng)，例如：下面的一組二維向量對中任何一對之積都一樣，即，如果令 z_{ij} = a_i b_j 則 z_{ij} 會受到限制，例如：對應(yīng)二維線性空間，有于是，得到 z_{ij} 之間的比例關(guān)系：顯然就不滿足上面的比例關(guān)系。因此，考慮脫離乘法而用 (1) 的形式直接定義張量，但是顯然不能是任意 n2 個數(shù)就可以構(gòu)成張量的系數(shù)矩陣，我們需要找到規(guī)律。我們知道，n 維度線性空間中的向量 α ，其坐標(biāo)向量 (a?, a?, ..., a_n) 是依賴于基 {ε?, ε?, ..., ε_n} 的，當(dāng)基變?yōu)?{ε?', ε?', ..., ε_n'} 后就相應(yīng)的變?yōu)?(a?', a?', ..., a_n') 。若已知，{ε?, ε?, ..., ε_n} 到 {ε?', ε?', ..., ε_n'} 過渡矩陣是 T，即：則，有：于是，有：等式兩邊左乘 (T?)?1，整理后得到：以上推導(dǎo)說明：向量 α的坐標(biāo)向量雖然隨著基的不同而變化，但是向量 α 從未改變，是一個不變量，即：并且，不同基下的坐標(biāo)向量之間滿足(2)。受此啟發(fā)，分析：ω 的系數(shù)矩陣 Z = (z_{ij})也是依賴于基 {ε?, ε?, ..., ε_n} 的，當(dāng)基變?yōu)?{ε?', ε?', ..., ε_n'} 后就相應(yīng)的變?yōu)?Z' = (z_{ij}')，并且有：于是，有：等式兩邊左乘 (T?)?1，右乘T?1，整理后得到：于是，給出二階張量的正式定義：與 n 維線性空間 V 有關(guān)的量 ω，在線性空間 V 的基變化時，具有不變性，滿足，并且，不同基下的系數(shù)矩陣之間滿足 (3)，則稱 ω 為二階張量。依照以上思路我們可以定義三階張量，這時系數(shù)矩陣就已經(jīng)不夠用了，于是我們只能老老實實用多項式表示，為了簡化書寫引入愛因斯坦和式：在一項中同時出現(xiàn)兩次的上下標(biāo) i 稱為啞標(biāo)表示該項是多項相加的縮寫，只出現(xiàn)一次的 j 是自由標(biāo)，禁止多于兩次。新設(shè) V 中向量 γ = c?ε? + c?ε? + ... + c_nε_n 有：令 ω = αβγ，z_{ijk} = a_ib_jc_k，則有（從這里開始使用愛因斯坦和式）：ω 就是三階張量。設(shè) V 的基從{ε?, ε?, ..., ε_n} 變換到 {ε?', ε?', ..., ε_n'} 的過渡矩陣 T 以及其轉(zhuǎn)置逆陣 S 分別為：則有：在新基下，令 ω =z'_{ijk}ε'_iε'_jε'_k，于是有：最終得到：于是我們定義：與 n 維線性空間 V 有關(guān)的量 ω，在線性空間 V 的基變化時，具有不變性，滿足，并且，不同基下分量之間滿足 (4)，則稱 ω 為三階張量。繼續(xù)延續(xù)以上思路，可以將張量擴展到任意 p 階。對于和 n 維線性空間 V 相關(guān)的量 ω，在 V 的基變化時，具有不變性，滿足：并且，不同基下分量之間滿足：則稱 ω 為 p 階張量。注意到，當(dāng) p = 1 時有：這和向量完全一致，因此一階張量就是向量，向量就是一階張量。規(guī)定，當(dāng) p = 0 時為：即，零階張量就是標(biāo)量。線性空間 V 上的函數(shù) f: V → K，如果滿足線性：f(α + β) = f(α) + f(β)；f(kα) = kf(α)；則稱 f 為線性函數(shù) 。定義線性函數(shù)的加法和數(shù)乘運算：(f+g)(α) = f(α) + g(α)；(kf)(α) = kf(α)；可以證明 V 上的全體線性函數(shù)構(gòu)成一個新的線性空間，稱為 V 的對偶空間，記為 V* 。對于 V 中給定的基 {ε?, ε?, ..., ε_n} ，如果 V* 中的一組函數(shù) {ε1, ε2, ..., ε^n} 使得：注：δ_{ij} 稱為 Kro

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張量分析