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如何用微積分知識推導(dǎo)球的體積公式？球的體積公式推導(dǎo)過程為了讓數(shù)學(xué)界的同行對球體公式的推導(dǎo)方法和過程能夠進(jìn)一步了解，免得往后對我(魏德武）產(chǎn)生質(zhì)疑，現(xiàn)將二種球體推導(dǎo)的方法和過程都一一展示出來：一，第一種從“下而上”不足近似值逼近（比實(shí)際值?。?zhǔn)確值推導(dǎo)法：設(shè)球的半徑為R，半球體高的平分?jǐn)?shù)為n；r1,r2,r3----rn分別為各不同圓柱餅的半徑，具體推算步驟如下：根據(jù)直角三角形定理，先求出每個圓柱餅的半徑得：（1）r1=根號R^2-(R/n)^2,r2=根號R^2-(2R/n)^2,r3=根號R^2-(3R/n)^2-----rn=根號R^2-(nR/n)^2.(2)然后再求出每個圓柱餅的體積之和：V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R/n)^2}+πR/n{R^2-(2R/n)^2}+πR/n{R^2-(3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(nR/n)^2}=πR^3/n(1-1^2/n^2+1-2^2/n^2+1-3^2/n^2----+1-n^2/n^2)=πR^3/n{n-(1^2+2^2+3^2--+--n^2)/n^2}=πR^3/n{n-n(n+1)(2n+1)/6n^2=πR^3{1-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3{1-(2+3*1/n+1/n^2)/6}=πR^3{1-(1+1/n)(2+1/n)/6}（注：當(dāng)n取無窮大時1/n趨向于0)得半球的體積V=4/6πR^3后再乘以2 。即：整球的體積公式V=4/3πR^3 。二，第二種從“上而下”過剩近似值逼近（比實(shí)際值大）準(zhǔn)確值推導(dǎo)法：設(shè)球的半徑為R，半球體高的平分?jǐn)?shù)為n；r1,r2,r3----rn分別為各不同圓柱餅的半徑，具體推算步驟如下：根據(jù)直角三角形定理，先求出每個圓柱餅的半徑得：(一），（1）r1=根號R^2-(R-R/n)^2,（2）r2=根號R^2-(R-2R/n)^2,(3)r3=根號R^2-(R-3R/n)^2---++---（n）rn=根號R^2-(R-nR/n)^2，（二）再求出每個圓柱餅的體積之和：V=V1+V2+V3------=πR/n{R^2-(R-R/n)^2}+πR/n{R^2-(R-2R/n)^2}+πR/n{R^2-(R-3R/n)^2}---++----πR/n{R^2-(R-nR/n)^2}=πR^3/n{2/n-(1/n)^2}+πR^3/n{2×2/n-(2/n)^2}+πR^3/n{2×3/n-(3/n)^2}+πR^3/n{2n/n-(n/n)^2}=πR^3/n{2×(1+2+3--+--n)/n-(1^2+2^2+3^2---++-n^2)/n^2}=πR^3/n{n(n+1)/n-n(n+1)(2n+1)/6n^2}=πR^3{(n^2+n)/n^2-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πR^3(6n^2+6n-2n^2-3n-1)/6n^2=πR^3(4n^2+3n-1)/6n^2=πR^3{（4+3/n-(1/n)^2)}/6=πR^3（4-1/n)(1+1/n)/6.（注：當(dāng)n取無窮大時1/n趨向于0)得半球的體積V=4/6πR^3，最后再乘以2，得：整球的體積公式V=4/3πR^3 。綜上所述：事實(shí)證明二種推導(dǎo)結(jié)果完全一致，只是前者較為簡單，后者更為復(fù)雜而已，建議學(xué)生還是采用前者更便捷！。球的體積公式推導(dǎo)過程方法越多越好,

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