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函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)（二）
在上一期我們聊了一下函數(shù)列以及它的收斂性 ， 在這一期我們將討論如何判定函數(shù)列的一致收斂 。為了大家能夠更好地理解下面的內容 ， 我們先回憶一下函數(shù)列一致收斂的定義 。
一致收斂的定義：我們首先給出一致收斂的定義：設函數(shù)列 與函數(shù)定義在同一數(shù)集D上 ， 若對任給的正數(shù) ， 總存在某一正整數(shù)N ， 使得當n＞N時 ， 對一切x∈D ， 都有
＜ε
則稱函數(shù)列
在D上一致收斂于f ， 記作
判斷一致收斂的方法有兩個：
1.柯西一致收斂判別準則
函數(shù)列在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為：對任給正數(shù)ε ， 總存在正數(shù)N ， 使得當n、m＞N時 ， 對一切x∈D ， 都有
＜ε
當一個函數(shù)列一致收斂于函數(shù)時 ， 根據一致收斂的定義我們可以知道若對任給的正數(shù) ， 總存在某一正整數(shù)N ， 使得當n＞N時 ， 對一切x∈D ， 都有
＜ε
必然也會存在一個正數(shù)m ， 且m﹥N但是n≠m ， 使得 ＜ε
所以 ， =
≤+
＜ε+ε=2ε
從而 ＜2ε
為了方便結果的好看我們可以令 ＜ ，  ＜
這樣就有了 ＜ε
當一個函數(shù)列滿足條件“對任給正數(shù)ε ， 總存在正數(shù)N ， 使得當n、m＞N時 ， 對一切x∈D ， 都有 ＜ε”時 ， 我們可以聯(lián)想到數(shù)列收斂的柯西準則 ， 
我們任取∈D ， 則數(shù)列有
當n、m＞N時 ， 有 ＜ε
所以數(shù)列收斂
令,則＜ε
由于是我們在D中任意取的一個數(shù) ， 所以對任意一個x∈D都滿足
＜ε再根據函數(shù)列一致收斂的定義可知函數(shù)列在數(shù)集D上一致收斂 。
2.函數(shù)列在數(shù)集D上一致收斂于函數(shù)的充要條件為：
＜ε,x∈D
這個定理是最常用的 ， 前提是我們必須知道函數(shù)列的具體表達式 。
當函數(shù)列在數(shù)集D上一致收斂于函數(shù)時 ， 根據函數(shù)列一致收斂的定義我們有
對任給的正數(shù) ， 總存在某一正整數(shù)N ， 使得當n＞N時 ， 對一切x∈D ， 都有
＜ε
所以 ， 再根據上確界的定義我們可以得到＜ε
從而有 ＜ε
當函數(shù)列滿足條件“＜ε,x∈D ”時 ， 我們可以知道
對任意ε＞0 ， 存在N ， 當n＞N時 ， 有 ＜ε ， x∈D
所以 ， 當n趨近于無窮大時 ， 我們有
≤ ＜ε ， x∈D
所以 ，  ＜ε
根據函數(shù)列一致收斂的定義可知 ， 函數(shù)列一致收斂于函數(shù) 。
在下一期我們將要討論函數(shù)項級
【考研數(shù)學函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判定方法 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法】

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