通分之后，可以得到：
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到這里，不難看出來，當(dāng)x趨向于a的時(shí)候，上面的差值趨向于0，所以：
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由于x趨向于a的時(shí)候，ξ也趨向于a，那么我們就得到了：
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嘗試
我們學(xué)會了洛必達(dá)法則之后就可以活學(xué)活用來解決一些比較棘手的極限問題了 。比如剛才我們舉的例子就再也不是問題了 。
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再來看一個：
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到這里我們還是無法得到結(jié)果，看樣子是卡殼了 。但是別著急，洛必達(dá)法則是可以嵌套使用的 。原因很簡單，只要我們把 f'(x) 看成是新的 f(x)，F(xiàn)'(x) 看成是新的 F(x)，只要新的函數(shù)還滿足洛必達(dá)法則的使用條件，那么我們可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則 。也就是說，我們可以得到：
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當(dāng)然使用嵌套也存在前提，前提就是二階導(dǎo)數(shù)存在，并且 F''(x) 不等于0 。同樣的道理，只要高階導(dǎo)數(shù)存在，并且分母不為0，我們可以一直嵌套下去 。所以洛必達(dá)法則也可以稱為套娃法則 。有了套娃之后，問題就簡單了，上面的問題我們只要往下套就行了：
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變形
除了套娃之外，洛必達(dá)法則還存在一個著名的變形 。前面討論的使用范疇都是在x趨向于一個常數(shù)的情況下的，其實(shí)在一些特殊的情況下，當(dāng)x趨向于正無窮時(shí)，我們一樣可以套用洛必達(dá)法則 。和基礎(chǔ)版本一樣，同樣需要函數(shù)f(x)和F(x)滿足一些條件：
- x趨向于正無窮時(shí)，f(x)和F(x)同時(shí)趨向于0或者無窮
- 存在N使得當(dāng)|x| > N時(shí)，f'(x)和F'(x)都存在，并且F'(x)不等于0
- 存在lim f'(x)/F'(x)
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我們可以看出來，當(dāng)x趨向于無窮的時(shí)候，分子分母都趨向于無窮 。所以我們可以使用洛必達(dá)法則：
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總結(jié)
洛必達(dá)法則在高數(shù)當(dāng)中非常重要，尤其是在計(jì)算極限的時(shí)候，很多看起來很麻煩的極限在經(jīng)過洛必達(dá)法則的轉(zhuǎn)換之后說不定就簡單得多 。
但是關(guān)于洛必達(dá)法則使用的限制看起來有些麻煩，其實(shí)我們只需要牢記兩點(diǎn)即可 。第一點(diǎn)是不管x趨向于什么值，只要保證分子分母同時(shí)趨向于0或者是無窮，并且導(dǎo)數(shù)存在，且分母的導(dǎo)數(shù)不為0即可 。也就是說如果分子分母的極限不同時(shí)為0或者無窮大，則不能使用洛必達(dá)法則 。這一點(diǎn)一定要牢記，因?yàn)樵谖覀兌啻问褂寐灞剡_(dá)法則的過程當(dāng)中，很有可能出現(xiàn)分子分母不在滿足這個條件的情況，我們在使用的時(shí)候一定要銘記 。
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