今天和大家一起復(fù)習(xí)的是洛必達(dá)法則，這個(gè)法則非常重要，在許多問(wèn)題的解法當(dāng)中都有出現(xiàn) 。雖然時(shí)隔多年，許多知識(shí)點(diǎn)都已經(jīng)還給老師了，但是我仍然還記得當(dāng)年大一的時(shí)候，高數(shù)老師在講臺(tái)上慷慨激昂的樣子 。
上篇文章當(dāng)中我們回顧了微分中值定理，今天要說(shuō)的洛必達(dá)法則其實(shí)是微分中值定理一個(gè)經(jīng)典的應(yīng)用 。所以有遺忘或者是新關(guān)注的同學(xué)可以點(diǎn)下下方的鏈接回顧一下上篇文章的內(nèi)容 。
用處
我們學(xué)習(xí)的目的往往很樸素，就是學(xué)以致用，之前的時(shí)候我總覺(jué)得這種想法有些現(xiàn)實(shí)，后來(lái)我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)了不能致用的知識(shí)都忘得差不多了 。所以盡管我們的心態(tài)要放好，但是操作的時(shí)候可以實(shí)際一些，先從用處入手，也許能更好地理解也說(shuō)不定 。
洛必達(dá)法則的應(yīng)用場(chǎng)景非常簡(jiǎn)單，就是能解決一些一下子無(wú)法求解的極限問(wèn)題 。不知道大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，不管在什么領(lǐng)域，總有一些一下子無(wú)法解決的問(wèn)題 。伴隨著對(duì)這些問(wèn)題的研究，我們的技術(shù)和理論在不斷的進(jìn)步，工作在不斷地簡(jiǎn)化，效率越來(lái)越高 。無(wú)論是數(shù)學(xué)上某個(gè)領(lǐng)域的突破還是計(jì)算機(jī)當(dāng)中某些工具的迭代和演進(jìn)，莫不如此 。
我們之前介紹極限的文章當(dāng)中講過(guò)一道例題：
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在這題當(dāng)中，由于x趨向于0的時(shí)候，sinx 和x都趨向于0，我們要計(jì)算0除以0的結(jié)果，當(dāng)時(shí)為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們用上了夾逼法，對(duì)它進(jìn)行了縮放之后才得到了極限 。類似的極限還有很多，本質(zhì)上來(lái)說(shuō)問(wèn)題在于當(dāng)分子和分母都趨向于0時(shí)，我們很難計(jì)算得到結(jié)果 。
再比如x/x^2，這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單，只要進(jìn)行約分，那么就是 1/x 的極限，x趨向于0時(shí)，顯然 1/x 趨向于無(wú)窮大 。但如果不約分呢？它就是一個(gè)極限0除以極限0的問(wèn)題，和上面的結(jié)果不同，它的比值結(jié)果是無(wú)窮大 。
洛必達(dá)法則就是為了解決上述這些極限問(wèn)題而出現(xiàn)的 。
定義
洛必達(dá)法則的本質(zhì)是一個(gè)定理，它規(guī)定，如果一個(gè)形如
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的極限，如果它滿足：
- x趨向于常數(shù)a時(shí)，函數(shù)f(x)和F(x)都趨向于0
- 在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)和F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在，并且F'(x) 不等于 0
- 存在 lim f'(x)/F'(x)
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也就是當(dāng)變量趨向于一個(gè)常數(shù)時(shí)，如果分子分母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，那么我們可以用導(dǎo)數(shù)的極限比值來(lái)代替原函數(shù)的比值 。
我們來(lái)試著證明這個(gè)定理，如果你回顧了微分中值定理的話，這個(gè)定理的證明非常簡(jiǎn)單 。我們來(lái)試一下證明 。
證明
由于函數(shù)在a點(diǎn)的去心鄰域可導(dǎo)，也就是說(shuō)函數(shù)在這個(gè)a的去心鄰域內(nèi)連續(xù) 。那么我們套用柯西中值定理，在x趨向于a時(shí)，可以得到在區(qū)間(a, x)內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)ξ，使得：
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到這里還差一點(diǎn)，因?yàn)檫€少了一個(gè)條件，書(shū)上的解釋是由于函數(shù)比值的極限與函數(shù)值無(wú)關(guān)，所以可以假設(shè)f(a)和F(a)等于0 。我個(gè)人覺(jué)得這樣有些不厚道，就和證明過(guò)程里寫(xiě)易證、易得是一樣的 。其實(shí)我們只要將這兩做差，證明一下差值等于0即可 。
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以上關(guān)于本文的內(nèi)容，僅作參考！溫馨提示：如遇健康、疾病相關(guān)的問(wèn)題，請(qǐng)您及時(shí)就醫(yī)或請(qǐng)專業(yè)人士給予相關(guān)指導(dǎo)!
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