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這三個(gè)問題過了30年都沒有解決，不過希爾伯特很有信心，認(rèn)為答案一定是“是， ”并且還斷言“不存在不可解的問題 ?！?br /> 然而他的樂觀斷言并沒有維持太久百思特網(wǎng) ?？梢哉f非常短命。因?yàn)榫驮谙柌刈龀錾鲜鰯嘌缘耐淮螘?huì)議中，一位25歲的數(shù)學(xué)家宣布了對(duì)不完備性定理的證明，他的發(fā)現(xiàn)震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界，這位年輕人名叫哥德爾（Kurt Gdel）。不完備性定理說的是，如果上面的問題2的答案是“是”（即數(shù)學(xué)是一致的），那么問題1（數(shù)學(xué)是不是完備的）的答案就必須是“否 ?！?br />

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哥德爾， 1906-1978
（照片由普林斯頓大學(xué)圖書館提供）
哥德爾的不完備性定理是從算術(shù)著手。他證明，如果算術(shù)是一致的，那么在算術(shù)中必然存在無法被證明的真命題——也就是說，算術(shù)是不完備的。而如果算術(shù)是不一致的，那么就會(huì)存在能被證明的假命題，這樣整個(gè)數(shù)學(xué)都會(huì)崩塌。
哥德爾的證明很復(fù)雜。不過直觀上卻很容易解釋。哥德爾給出了一個(gè)數(shù)學(xué)命題，翻譯成白話就是“這個(gè)命題是不可證的。”
仔細(xì)思考一下。這個(gè)命題很奇怪，它居然談?wù)摰氖撬陨怼聦?shí)上，它說的是它不可證。我們姑且稱它為“命題A 。”現(xiàn)在假設(shè)命題A可證。那么這樣它就為假（因?yàn)樗f它不可證）。這就意味著證明了假命題——從而算術(shù)是不一致的。好了，那我們就假設(shè)它命題A不可證。這就意味著命題A為真（因?yàn)樗鼣嘌缘木褪亲约翰豢勺C），但這樣就存在不可證的真命題——算術(shù)是不完備的。因此，算術(shù)要么不一致，要么不完備。
難以想象這個(gè)命題如何轉(zhuǎn)換成用數(shù)學(xué)語言表述，但是哥德爾做到了——哥德爾的證明的復(fù)雜和精彩之處就在此，在這里我們不去討論。
絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都堅(jiān)定地認(rèn)為希爾伯特問題能被正面解決，這對(duì)他們是個(gè)沉重的打擊。就像數(shù)學(xué)作家霍吉斯（Andrew Hodges）說的：“這是在研究中驚人的轉(zhuǎn)折，因?yàn)橄柌卦詾樗挠?jì)劃將一統(tǒng)天下。對(duì)于那些認(rèn)為數(shù)學(xué)完美而且無懈可擊的人來說，這讓人難以接受……”
◆ ◆ ◆圖靈機(jī)和不可計(jì)算性
哥德爾干凈利落地解決了希爾伯特第一和第二問題，接著第三問題又被英國數(shù)學(xué)家圖靈（Alan Turing）干掉了。

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圖靈， 1912-1954
1935年，圖靈23歲，在劍橋跟隨邏輯學(xué)家紐曼（Max Newman）攻讀研究生。紐曼向圖靈介紹了哥德爾剛剛得出的不完備性定理。在理解哥德爾的結(jié)果之后，圖靈發(fā)現(xiàn)了該如何解決希爾伯特第三問題，判定問題，同樣，他的答案也是“否 ?！?br /> 圖靈是怎么證明的呢？前面說過，判定問題問的是，是不是有“明確程序”能判定任意命題是否可證？“明確程序”指的是什么呢？圖靈的第一步就是定義這個(gè)概念。沿著萊布尼茨在兩個(gè)世紀(jì)以前的思路，圖靈通過構(gòu)想一種強(qiáng)有力的運(yùn)算機(jī)器來闡述他的定義，這個(gè)機(jī)器不僅能進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算，也能操作符號(hào) ，這樣就能證明數(shù)學(xué)命題。通過思考人類如何計(jì)算，他構(gòu)造了一種假象的機(jī)器，這種機(jī)器現(xiàn)在被稱為圖靈機(jī) 。圖靈機(jī)后來成了電子計(jì)算機(jī)的藍(lán)圖。

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