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數(shù)學(xué)中的某些理論好像都是一個(gè)個(gè)散落的珍珠，能否把它們統(tǒng)一在一起，這正是我感興趣的。
把一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆分成幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，至少有如下兩個(gè)不同的形式：
1、分母裂項(xiàng)拆分基本公式之一：1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）
2、分母裂項(xiàng)拆分基本公式之二：1/n= (n k1 k2 k3 … kn)/[n(n k1 k2 k3 … kn)]------（2）
（其中k1、k2、k3、…kn都是n的因數(shù)之一）
（以上基本數(shù)理來自于網(wǎng)絡(luò)）

文章插圖
思考的起點(diǎn)圖
許多的問題總會(huì)接連不斷地浮現(xiàn)，總希望能找出思考的頭緒：
1、它們的根源從何而來？
2、如何用最通俗的語言來描述？
3、每種數(shù)理包括哪些基本知識？
如何放在一個(gè)數(shù)理框架下進(jìn)行討論呢？先看以下幾個(gè)基本知識的概念：
（1）單位分?jǐn)?shù)定義：我們把分子是1、分母是自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫單位分?jǐn)?shù)，記成1/n 。
（2）真分?jǐn)?shù)：分子和分母都是正整數(shù)，分子小于分母的分?jǐn)?shù)，它們都大于0而小于1 。大于0而小于1的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù) 。
（3）假分?jǐn)?shù)：分子和分母都是正整數(shù)，分子等于分母或分子大于分母的分?jǐn)?shù)，它們等于1或大于1，等于1或大于1的分?jǐn)?shù)叫作假分?jǐn)?shù) 。
（從單位分?jǐn)?shù)概念中分析得出“1/1=1”是假分?jǐn)?shù)，在真分?jǐn)?shù)中1/2是最大的單位分?jǐn)?shù)，所以下面的單位分?jǐn)?shù)中分母都從2開始，只討論真分?jǐn)?shù)形式。）
（4）分?jǐn)?shù)基本運(yùn)算方法（或法則）之一：分子分母同乘（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，其分?jǐn)?shù)值不變。
通過對上面的分?jǐn)?shù)基本運(yùn)算方法（或法則）進(jìn)行分析，基本表達(dá)式如下：
1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然數(shù)）)---------(3)
（即：分子分母同乘（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，其分?jǐn)?shù)值不變。）
接下來對(3)式進(jìn)行變形：
1、設(shè)m=n k, k∈N(自然數(shù)）其(3)式基本形式變化如下：
1/n = (n k)/[n(n k)] =1/(n k) k/[n(n k)]-------（4）
1）設(shè)k=1時(shí)，（4）式就變成了如下形式：
1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）
這就是開頭的分母裂項(xiàng)拆分的基本公式之一。
所以（1）式就是從（3）式中演繹出來的特例：
（備注：演繹推理是由一般到特殊的推理方法。）
演繹推理：從一般表達(dá)式“1/n = m/(mn)”開始，先是對m分類（或限定），當(dāng)滿足“m=n k”條件時(shí)，再對k分類（或限定），當(dāng)滿足“k=1”這個(gè)條件時(shí)就成立了。
因此m=n 1只是“1/n = m/(mn)”表達(dá)式中，m取值的一個(gè)特例。

為什么要將m變成“m=n 1”呢？如何用最通俗的語言來描述？再看下面幾個(gè)基本知識的概念：
1、因數(shù)（或約數(shù)）與倍數(shù)定義：設(shè)a,b是整數(shù)，b≠0 。如果有一個(gè)整數(shù)C,它便得a＝bc,則a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的因數(shù) 。
單位分?jǐn)?shù)的表達(dá)基本形式其分子只能是1.因此分子不為1時(shí)，則分子必定是分母的約數(shù) 。
這就是對因數(shù)（或約數(shù)）知識點(diǎn)的運(yùn)用。
例如因數(shù)（或約數(shù)）概念中：c/a=c/bc=1/b. （b≠0，c≠0）那么“1/b”就是單位分?jǐn)?shù)的表達(dá)基本形式。
2、素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）與合數(shù)：質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù) 。一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；否則稱為合數(shù) 。（規(guī)定1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)）。
通過對上面素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）與合數(shù)的概念分析，我們知道對于任何自然數(shù)“1”和“它自身”都是這個(gè)自然數(shù)的約數(shù) 。
因此對于任何自然數(shù)都有如下表達(dá)方式：
n=n*1（任何數(shù)乘以1都等于這個(gè)數(shù)本身）
m=n 1 則m剛好等于“n=n*1”中“n的兩個(gè)因數(shù)（或約數(shù)）n與1”的和。

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