為什么不能用拉格朗日中值定理證明洛必達(dá)法則？（羅比達(dá)法則大家都知道，這里就不累述了?。┪覀兿瓤匆幌铝_比達(dá)法則標(biāo)準(zhǔn)證明的簡略版：下面以 x → a? （-∞ ≤ a < +∞） 為例（x→ a?類似） 。當(dāng) f/g 是 0/0 型時，在 區(qū)間 [a, x] 上，根據(jù) 柯西中值定理，有：其中，c ∈ (a, x) 。注意：有羅比達(dá)法則的條件 g'(x) ≠ 0 。0/0 型 說明，f(a) = g(a) = 0，于是：因為，c ∈ (a, x)，所以 當(dāng) x → a? 時，有 c → a?，故：將等式，最左邊 極限符號 c 替換為 x，最終得到：得證！當(dāng)f/g 是 ∞/∞ 型時，令：下面以-∞ < K < +∞ 為例 ( K = ±∞ 類似) 。根據(jù)極限定義，對于 任意 ε > 0 都存在 δ > 0 使得，所有 a < x < a + δ，都有：令，b = a + δ，再 區(qū)間 [x, b] 上 根據(jù)柯西中值定理，有：其中，c ∈ (x, b)，說明 a < c < a + δ，c 滿足上面不等式，于是：現(xiàn)在讓 b 固定 讓x → a?，由 ∞/∞ 型，知道 g(a) = +∞，所以 g(x)→ +∞ > 0，于是 從上面不等式可以得到：由于，x → a?時，g(x)→ +∞，而 b 固定 b ≠ a，所以 f(b)為 非無窮常值，于是 f(b)/g(x)→ 0，這樣最終得到：由，ε的任意性，知：即，得證！注意：以上證明以說明思路為主，細(xì)節(jié)上存在漏洞！以上標(biāo)準(zhǔn)證明中 (1) 和 (2) 處會用的 柯西中值定理，如果用拉格朗日定理替換，以 (1) 為例，在 區(qū)間 [a, x] 上有：兩個等式相比得到：這看著與 (1) 很像，但是仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)： (1) 處等式左邊只有 一個 c，這有兩個 c? c? 。我們并不能保證 c? = c? = c，所以這里和 (1) 處 等式不同 。進(jìn)而，因為 推導(dǎo)的結(jié)果不同，所以，不能用 拉格朗日定理替換柯西中值定理 。結(jié)論：在羅比達(dá)法則的標(biāo)準(zhǔn)證明中，我們無法直接使用 拉格朗日定理，因為 不能從 拉格朗日定理 直接得到 標(biāo)準(zhǔn)證明所需要的柯西中值定理 形式 。當(dāng)然，證明羅比達(dá)法則有多種方法，有些情況不一定要用到 柯西中值定理，比如：0/0 型，a ≠ ±∞時，由 f(a) = g(a) = 0 直接到：所以就更不需要 拉格朗日中值定理了！至于，是不是有 直接使用 拉格朗日中值定理 證明 羅比達(dá)法則的非標(biāo)準(zhǔn)方法，小石頭才疏學(xué)淺，目前不知道！rr大家好，我是拉格朗，請問中值在哪里

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