自然常數(shù)e自然常數(shù)e是什么？e (自然常數(shù), 也稱為歐拉數(shù))是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù). 它是一個(gè)無(wú)理數(shù), 就是說(shuō)小數(shù)點(diǎn)后面無(wú)窮無(wú)盡, 永不重復(fù).e≈2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190......e 的來(lái)歷與我們更熟知的兩個(gè)無(wú)理數(shù) Pi 和 √2 不同, 它不是由數(shù)學(xué)家由幾何問(wèn)題上發(fā)現(xiàn)而來(lái)的, 而是出自一個(gè)金融問(wèn)題. 我們說(shuō) e 表示增長(zhǎng)率和變化率的常數(shù). 但是它為什么和增長(zhǎng)率有關(guān)呢? 讓我們回到來(lái) 17 世紀(jì), 看看發(fā)現(xiàn) e 的第一人：數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利以及他所研究的相關(guān)問(wèn)題. (下圖為伯努利家族以及歐拉)假設(shè)在銀行存了 1 $ , 而銀行提供的年利率是 100%, 也就是說(shuō) 1 年后連本帶息, 你會(huì)得到 2 塊錢(qián). 這個(gè)非常容易理解是吧?那么現(xiàn)在假設(shè)半年就計(jì)算一次利息, 就是半年利率為 50% , 這種方案最終一年后的收益會(huì)不會(huì)比剛才更好一些呢?計(jì)算如下過(guò)程: 年中計(jì)息一次總共是 1.5 $, 然后下半年連本帶息年末就為 2.25 $:這樣看來(lái)一年后共會(huì)獲得 2.25 塊錢(qián). 恩, 看起來(lái)不錯(cuò)啊! 那現(xiàn)在計(jì)算利率周期如果再短一些會(huì)怎么呢? 再來(lái)假設(shè)每個(gè)月結(jié)算一次呢? 月利率為 1/12 , 最終得到大約 2.61304 塊錢(qián), 這個(gè)方案會(huì)又好一些.現(xiàn)在可以看出這樣的規(guī)律, 利息的周期越短, 收益就更好. 那就讓我們繼續(xù)縮短計(jì)息的周期, 變?yōu)槊恐苡?jì)算, 計(jì)息的次數(shù)就是 52 次 .甚至可以計(jì)算天利率, 或者小時(shí), 秒來(lái)計(jì)算. 當(dāng)然年末所獲得的錢(qián)亦會(huì)增多. 不過(guò)雅各布.伯努利發(fā)現(xiàn)隨著 n 趨于無(wú)窮, 對(duì)于這樣的連續(xù)復(fù)利存在著一個(gè)極限值, 這個(gè)數(shù)值其實(shí)就是 e:也就是對(duì)于這個(gè)式子的極限值將是多少呢?伯努利知道會(huì)是一個(gè) 2~ 3 直接的數(shù), 但最終的的結(jié)果很可惜他并沒(méi)有計(jì)算出來(lái). 這個(gè)問(wèn)題由 50 年后的萊昂哈德·歐拉借助下面的公式計(jì)算出來(lái)小數(shù)點(diǎn)后 18 位 2.718281828459045235...... 這就是描述增長(zhǎng)率的自然常量 e 來(lái)歷.e 是無(wú)理數(shù)并且歐拉借助連分式的形式證明了 e 是一個(gè)無(wú)理數(shù), 觀察這個(gè)連分?jǐn)?shù)的形式(最左側(cè)) 1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10.... 也就是說(shuō)這種能夠一直被處下去的連分?jǐn)?shù), 那就意味著它是個(gè)無(wú)理數(shù).e 在微積分中性質(zhì)e 是描述增長(zhǎng)率的自然常量, 并且還是唯一具有下面性質(zhì)的函數(shù): 這個(gè)函數(shù)曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的 y 值, 在該點(diǎn)的斜率和面積都是相同的. x =1 時(shí), 函數(shù)值就等于 e. 斜率也是 e, 而曲線下的面積也是 e.也正是因?yàn)檫@主要性質(zhì), 使得它成為了微積分的你最喜歡見(jiàn)到函數(shù)(微積分也正是描述變化率, 極限求和的數(shù)學(xué)). 所以當(dāng)在微積分課程中, 凡是遇到 e 的計(jì)算, 計(jì)算會(huì)簡(jiǎn)單一些.e 出現(xiàn)在最美數(shù)學(xué)公式 - 歐拉恒等式最后既然提到了 e , 通常會(huì)提到將所有著名的常數(shù)出現(xiàn)在同一個(gè)方程 - 歐拉恒等式(Euler's identity), e^(iπ)+1=0. 被譽(yù)為最美的數(shù)學(xué)公式. 這個(gè)曾在 [遇見(jiàn)數(shù)學(xué)] 回答過(guò)的問(wèn)題中, 這里不再贅述. (完)請(qǐng)各位老師和朋友們多多指正, 也歡迎點(diǎn)贊、轉(zhuǎn)發(fā)! 關(guān)注 [遇見(jiàn)數(shù)學(xué)] 訂閱更多數(shù)學(xué)資訊和圖解文章!rre萌發(fā)于17世紀(jì)早期，那時(shí)，幾個(gè)數(shù)學(xué)家正致力于試圖闡明對(duì)數(shù)的思想，這個(gè)偉大的發(fā)明使得大數(shù)之間的乘法可以轉(zhuǎn)換為加法 。e是一個(gè)近似值為2.718 28的數(shù)，它并不是隨機(jī)產(chǎn)生的，而是數(shù)學(xué)中最偉大的常數(shù)之一 。e的故事真正開(kāi)始于某種17世紀(jì)的電子商務(wù)，雅各布開(kāi)始研究復(fù)利的問(wèn)題 。在隨后的發(fā)展過(guò)程中，e在數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，逐漸成為了一個(gè)無(wú)可替代的數(shù)字：e主要出現(xiàn)在涉及增長(zhǎng)的地方：比如說(shuō)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和人口增長(zhǎng)；與其相關(guān)的還有用基于e的曲線來(lái)描述放射性衰變 。e也出現(xiàn)在與增長(zhǎng)無(wú)關(guān)的地方：蒙特莫特（Pierre Montmort）在18世紀(jì)研究了一個(gè)概率問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題隨后又得到了深入研究，簡(jiǎn)單地說(shuō)，一群人去吃午飯，吃完后在離開(kāi)時(shí)隨機(jī)拿起一頂帽子 。那么沒(méi)有人拿到自己帽子的概率為多大？可以證明這個(gè)概率是1/e（大約是37%），所以至少有一個(gè)人拿到了他自己帽子的概率為1-1/e（63%） 。e用于描述小概率事件的泊松分布，泊松分布的概率函數(shù)為：詹姆士·斯特林利用π和e得到了一個(gè)對(duì)階乘n！的著名近似：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布的“鐘形曲線”涉及e：圖片來(lái)源：百度百科正態(tài)分布公式：在工程學(xué)中，懸索橋纜索的曲線基于e；數(shù)學(xué)中最驚人的恒等式也涉及e：可以說(shuō)，e的應(yīng)用清單無(wú)窮無(wú)盡 。也許，e的重要性就在于，它的神秘感吸引和魅惑了一代又一代的數(shù)學(xué)家 。總而言之，e是無(wú)可替代的 。以上內(nèi)容選自《你不可不知的50個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)》歡迎關(guān)注@人民郵電出版社 頭條官方號(hào)，發(fā)現(xiàn)更多有趣的知識(shí)~

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