圓的周長、面積，球的表面積和體積公式，如何用微積分精確推出來？分析一下？（應(yīng)邀，小石頭嘗試著來回答這個問題）圓的周長公式我們知道在二維幾何平面上，對于 以原點為圓心，R為半徑的 圓 C，在笛卡爾直角坐標下，曲線方程為：x2 + y2 = R2在 極坐標下，曲線方程為：ρ = R，θ ∈ (-π, π]兩者結(jié)合，就得到 一個笛卡爾直角坐標下參數(shù)方程（θ ∈ (-π, π]）：x = R cosθy = R sinθ利用，關(guān)于弧長的曲線積分公式：令，f(x, y) = 1，就是 計算 曲線 L 的 弧長 的公式 。這里，我們 將C 看成 從 a = (-R, 0) 點 出發(fā) 按照逆時針方向 旋轉(zhuǎn)一周 又回到 a 點的曲線，于是，計算 C 的 弧長為：這個弧長就是 C 的周長，這樣，我們就得到了，所熟悉的 圓的周長公式：C = 2πR考慮，C 位于 X 之上的部分C'，令，t = x，則 C' 的參數(shù)方程為（t ∈ [-R, R]）：x = ty = √(R2-t2)同樣，利用上面的弧長公式，計算 C' 的弧長為：而 C 的周長顯然是 C' 弧長的 2 倍，于是，我們就又得到了圓的周長公式：C = 2C' = 2πR圓的面積公式設(shè)，圓 C 的內(nèi)部圓盤 為：S= {(x, y) | x2 + y2 ≤ R2 }在 平面極坐標下，圓盤 S 可以被分割為無數(shù)的 "小扇形 "，每個 小扇形 的面積近似等于 以弧長 Δl = R Δθ 為底 以半徑 R 為高的 三角形面積：ΔS = (1/2)R(RΔθ) = (R2/2) Δθ這些 ΔS 全部加起來，然后讓 每個 ΔS盡量小，即，Δθ 取 0 的極限，這樣，就得到一個黎曼積分，這個結(jié)果就是全部小扇形 的面積 之和，即，S 的面積，于是我們得到，圓的面積公式：S = πR2上面的結(jié)果，告訴我們，其實，在 關(guān)于弧長的曲線積分公式 中，令 F(x, y) = (R2/2)，對 圓周 C 進行 弧長積分，就可以得到 圓的面積 S 。反正都是常數(shù)，不妨讓 f(θ) =(R2/2)，則 S 面積 為 如下黎曼積分：同樣在 平面極坐標下，我們還可以將 S 分成無數(shù)的 小圓環(huán)，將周長公式中半徑設(shè)為變量 ρ 于是得到周長函數(shù)：f(ρ) = 2πρ這樣，每個小圓環(huán)的面積 近似的等于，以 周長為高 以 內(nèi)徑為底的矩形面積（想象將小圓環(huán) 從 極軸處水平剪開，然后上下拉直，由于圓環(huán)很薄因此內(nèi)外周長幾乎相等，構(gòu)成矩形的左右兩個邊，而內(nèi)徑本來就相同，構(gòu)成矩形的上下兩個邊）：ΔS? = f(ξ?)Δρ?其中，Δρ? = ρ? -ρ???，ξ? ∈ [ρ???, ρ?]，又令 λ = max{Δρ?, i = 1, ..., n} 于是我們又得到一個標準的黎曼積分：這個結(jié)果就是全部小圓環(huán) 的面積 之和，即，S 的面積，于是我們又得到圓的面積公式：S = πR2上面的結(jié)果說明一個事實：以半徑 ρ 為變量的，面積函數(shù) F(ρ) = πρ2 是 周長函數(shù)f(ρ) = 2πρ 的原函數(shù)，并且 有條件 F(0) = 0，使得不定積分常數(shù) C = 0，即，繪制成圖如下：反過來，這同樣說明：圓的周長函數(shù) f(ρ) = 2πρ 是 面積函數(shù) F(ρ) = πρ2 的導(dǎo)數(shù)，所以，我們其實可以從圓的面積公式通過求導(dǎo)得到圓的周長公式，即，從 S 的面積公式通過求導(dǎo)得到 C 的周長公式，這要求 求得 S 面積時 不使用 C 的周長公式，可以考慮，平面直角坐標系下，C 在 第Ⅰ象限的部分，C 的這部分的函數(shù)為：y = f(x) = √(R2 - x2)于是直接利用 黎曼積分，可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S' 的面積 如下：注意：為了節(jié)約篇幅，從這里開始，復(fù)雜的不定積分推導(dǎo)過程均省略，有興趣大家可以自行推導(dǎo) 。而根據(jù) 對稱性，S 的面積 是 S' 的 4 倍，于是我們就雙得到了圓面積公式：S = 4S' = 4(πR2/4) = πR2還可以利用，格林公式：這里，D 就是 S，L 就是 C，只要設(shè)，Q(x, y) = x, P(x, y) = 1于是，格林公式左邊為：這就是 S 的面積 。接著 利用，兩類曲線積分的關(guān)系：結(jié)合 上面 C 的 第一個參數(shù)方程，格林公式右邊為：格林公式左右聯(lián)立，于是我們叒得到圓的面積公式：S = ?_D(?Q/?x - ?P/?y) dxdy = ∮_C (Pdx + Qdy) =πR2其實，也可以直接 求 上面的 二重黎曼積分，另外，在平面極坐標下，考慮 二重黎曼積分 更一般的形式：可以將 S 的內(nèi)部 分為 許多 ”小扇面“，每一個小扇面的面積，近似等于紅色梯形面積（大三角形減去小三角形）：Δσ? = 1/2 ρ?2 Δθ? -1/2 (ρ? - Δρ?)2Δθ? = [(ρ? + ρ???) / 2]Δρ? Δθ? =ρ'? Δρ? Δθ?其中，Δθ? = θ? - θ???, Δρ? = ρ? - ρ???，令，λ = max{Δσ?, i= 1, 2, ..., n = m2}，并取小扇面 的中心點 (ρ'?, θ'?) 處 的 二元函數(shù)值 f(ρ'?cosθ', ρ'?sinθ')，于是就得到了 極坐標下的二重積分計算公式：注意：以上的推導(dǎo)過程，可以 從 圓盤 S 擴展到 任意 有界封閉區(qū)域 D 。利用，上面的 二重積分計算公式，有：這樣，我們就叕得到了圓的面積公式 。球的表面積公式在三維空間中，以 圓點為 球心，以 R 為半徑的 球面 B，在笛卡爾直角坐標下，曲面方程為：x2 + y2 + z2 = R2于是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲面 B' 對應(yīng)的二元函數(shù)為：z = f(x, y) = √(R2 - x2 - y2)對于 XOY平面 上 的任意 中心 為 (x, y) 的 一小塊 Δσ 沿著Z軸（垂直于 XOY平面），投影到 B' 上的面積，近似于 投影 到 B' 在 (x, y, f(x, y)) 處 切面 上的面積 Δm , 設(shè) r 是 該切面 與 XOY平面 的夾角，則有：Δm= Δσ / cos r為什么呢？因為：Δσ可以分成 無數(shù)個小矩形：Δσ = ∑ a? × b?讓 a? 邊 與 切面 與 XOY平面 交線 平行，于是 b? 邊 就與 交線 垂直，這樣 a? 邊 在 切面上的投影仍然是 a?，b? 邊在切面上的投影 則是b? / cos r，于是 每個小矩形 在切面上的投影 面積 為(a? × b?) /cos r，進而有：Δm=∑ (a? × b?) / cos r =Δσ / cos r另外，根據(jù)立體幾何知識，我們知道：B' 在 (x, y, f(x, y))處 的切面 與 XOY 平面 的夾角 等于 B' 在 (x, y, f(x, y))點 切面法線 和 Z 軸 的夾角，又因為，B' 在 (x, y, f(x, y))點的 切面法線向量 為：n = (-?f/?x,-?f/?y, 1)Z 軸 單位向量 為：k = (0, 0, 1)所以，根據(jù)內(nèi)積的定義，有：cos r = n ? k / |n||k| = 1/√((?f/?x)2 +(?f/?y)2 + 1)注意：上面的結(jié)論（以及證明過程）適用于，任何可表示為 函數(shù) z = f(x, y) 形式的 正則曲面，而非僅僅是 B' 。對于曲面 B' 來說，有：?f/?x = -x/√(R - x2 - y2) , ?f/?y = -y/√(R - x2 - y2)帶入上面得到：cos r = 1/(√ x2 / (R2- x2 - y2) + y2 /(R2- x2 - y2) + 1) = √(R2- x2 - y2) / R于是，曲面B' 面積 的 二重黎曼積分為：再利用，前面推導(dǎo)出來的極坐標下二重積分的計算公式，有：最后，根據(jù)對稱性 B 的表面積 是 B' 的兩倍，于是我們得到 球的表面積公式：B = 2B' = 4πR2考慮，沿著 X 軸，并垂直于 X 軸 將 球體 切成 無數(shù) 薄片，和上面類似，對于每一個薄片，外圈表面積 ΔB? 同樣是 頂面半徑 為 √(R2- x2) 的 圓柱體 圓面 面積 2π√(R2- x2) Δx?的 1/cos r 倍數(shù)，這里的 r 是，曲線 y = f(x) = √(R2- x2)上(x, f(x)) 點 處切線 和 X 軸的 夾角，也等于 曲線 在該點 處 切線法線 n = (-f', 1)和 Y軸 單位向量 j = (0, 1) 的夾角 。同樣，根據(jù)內(nèi)積公式有：cos r =n ? k / |n||k| = 1/√(f'2+ 1)= 1 / √((-x/√(R2- x2)) 2 + 1) =1 / √(x2/(R2- x2) + 1) = √(R2- x2) / R于是，ΔB? =2π√(R2- x2) Δx? /cos r = 2πR Δx?進而，令 λ = max{Δx?, i = 1, ..., n}使用黎曼積分，就得到 B 的表面積：球的體積公式設(shè)，球面 B 內(nèi)部球體 為：V = {(x, y, z) |x2 + y2 + z2 ≤ R2 }與上面類似，沿著 X 軸，并垂直于 X 軸 將 球體 V 切成 無數(shù) 薄片，則每個厚度為 Δx? = x? - x??? 的薄片的體積 近似等于 半徑為 √(R2- ξ?2) （ξ? ∈ [x???, x?]） 的 同樣厚度的圓柱體的體積：ΔV? =π(√(R2- ξ?2))2 Δx? = π(R2- ξ?2) Δx?接著，令λ = max{Δx?, i = 1, ..., n}，使用 黎曼積分，就得到 V 的體積：當然我們也可使用三重積分計算球的體積 。利用，柱面坐標計算三重積分和上面的方法類似，這里略 。利用，球面坐標下的三重積分計算公式：對于，P 點的 球面坐標 定義為：ρ ∈ [0, R]為 |OP|，φ ∈[0, π]為 OP 于 Z 軸夾角，θ ∈[-π, π] 為 OP 在 XOY 平面上的投影 與 X 軸的夾角，則，有，這個公式的推導(dǎo)，和上面 極坐標下二重重積分計算公式的推導(dǎo)非常類似，有興趣大家可以自己試一試 。對于 球體 V 的體積，來說：f(x, y, z) = F(ρ, φ, θ) = 1,ρ(φ, θ) = R于是，有：最后，大家需要知道，為了不分散注意力，以上所有積分均忽略了 函數(shù) 是否在 區(qū)域邊界處有意義問題！如果，函數(shù)在邊界無定義，則可以通過 有定義的閉區(qū)域 極限逼近 的方法求得，一般來說，最后結(jié)果和不考慮其實一樣 。例如，f(x) 在 [a, b) 有定義，在b 點無定義，則 f(x) 在 [a, b] 上的積分 可以定義為：（當然，用微積分推導(dǎo) 圓或球的相關(guān)幾何公式，不止以上介紹的這些！小石頭這里只是拋磚引玉，歡迎大家討論?。ㄓ捎谛∈^數(shù)學(xué)水平有限，出錯在所難免，歡迎各位老師和同學(xué)批評指正 。）rr圓的周長從圓心做三角形頂點到圓上可以分割n個三角直角三角形，一個直角邊是半徑，另外是圓周長上的微分.1/2r△x,所有的△x加起來正好是圓周長，所以圓面積等于∏r2

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