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之前我們聊過一個數字：葛立恒數，之前說這是一個有意義的自然數。這個數大到哪怕是全宇宙的物質都是墨水，這些墨水都寫不完這個數字的位數，因此我們只能用高德納箭頭來表示。
ps：這里需要強調的是：形容一個數字大，必須要建立在有意義的基礎上，是對一個客觀事實或者概念的描述。如果沒有這個前提，就沒有最大的數，否則你任意說一個數，我就能+1，甚至平方，直到無窮大。
這樣看來，它真的很大，但是數學家們卻不罷休，它們發(fā)現了一個更大的數：TREE(3) 。在TREE(3)面前，葛立恒數幾乎可以忽略不計。那TREE(3)這個數究竟是什么意思，又是怎么來的呢？
TREE其實是一個函數，TREE(3)則表示當這個函數的自變量取值為3的時候，函數的值。Tree這個單詞用的很形象，就是樹木的意思，TREE(3)這個數字就來源于一個“畫樹”游戲。對于“樹”這個概念，學計算機的朋友們尤其熟悉。除此以外，平常我們使用“思維導圖”畫出的組織架構圖，家譜結構圖，這些本質都是“樹”結構。
了解了“樹”的概念，接下來，我們就用“畫樹”游戲來導出TREE(3) 。
這個樹狀結構里，我們將小圓點比做樹葉，線段比做枝干，一棵樹不能有閉環(huán)，只能從葉到葉，不能從葉到根。從一個葉后面可能引出來若干的葉，這個葉就是成了后面那些葉的根。根和所有的葉組成節(jié)點 。如此，一棵樹上的節(jié)點數之和就應該比枝干數之和大1 。
另外，小圓點的顏色需要遵循一些規(guī)則，而樹枝的顏色則隨意，我們不需要關心。TREE(3)里的3就代表我們用三種顏色來畫這棵樹（三種顏色的小圓點）。
畫這棵樹需要遵循以下兩個規(guī)則：
1、第一棵樹只能有一個節(jié)點，第二棵樹不能超過兩個節(jié)點，第三棵樹不能超過三個節(jié)點……第n棵樹最多只能有n個節(jié)點。
2、前面的樹不能是后面的樹的子樹；后面的樹里，不能“包含”前面的樹結構。
需要注意的是，第二條規(guī)則里的“包含”是指，后面的樹在去掉若干樹葉后，依舊不能和前面的樹相同（前面的樹不能是后面的樹的子樹，換種方法理解就是，一棵樹砍掉任意節(jié)點后，不能和前面的樹相同 。）
除此以外，這種情況也不被允許：當前的樹如果取若干節(jié)點，這若干節(jié)點組成的樹結構不能和之前的樹的節(jié)點產生一一對應的關系。而且，兩棵樹中任意對應兩個節(jié)點的最近共同祖先不能是同一顏色。
【從一棵樹上長出來的最大數字數字里最大的樹】如下圖：對一個子樹而言，中間的樹去掉最上面的藍色就一樣了，所以不滿足；第三個樹結構，下面的藍色和綠色擁有共同的祖先——紅色，這與第一個子樹一樣，因此也不滿足。
特別強調：當兩個葉子一起朝根節(jié)點回溯時，它們一定會在某個葉子上匯合，這個匯合的節(jié)點就是他們的最近共同祖先 。如果我們將這棵樹看成一個家譜，就好理解了。一個家族里，其他人和你所擁有的最近的一個共同祖先，比如你和你親兄弟姊妹的最近共同祖先就是父親，你和你的堂兄妹的最近共同祖先就是你們的爺爺。
理解了上面的規(guī)則后，現在畫樹游戲的要求是：如果兩棵樹之間，對應節(jié)點的共同祖先是同一個顏色，那游戲直接結束。我們要遵守規(guī)則，保證游戲一直玩下去。
這種包含關系在數學上的術語叫做：下確界-可嵌入（INF-embeddable），搞硬件嵌入式系統(tǒng)的朋友們應該相當熟悉這個詞。這里INF是Infimum and supremum的簡稱，是下確界或者說是最大下界的拉丁文縮寫。
為什么這里要用這個詞，因為合適：當我們把一棵樹某個枝條上的節(jié)點當做一個大小進行排序，且根節(jié)點最小時，那么兩個節(jié)點的最近共同祖先其實就是最大的，且比這兩個節(jié)點都小的節(jié)點。（很繞，但真的就是這樣的）
現在我們開始正式畫樹游戲，我們要畫出樹盡可能多的森林，也就是“樹列” 。
從TREE(1)開始，只用一只顏色畫樹：假設你用的是紅色，那么你只能畫出一棵樹，不然就違反規(guī)則了，因此TREE(1)=1，如下圖。
接下來是TREE(2)，我們用紅色和藍色畫樹，我們發(fā)現，最多只能畫出三個樹結構，不然就違反規(guī)則了，因此TREE(2)=3，如下圖。
然后是TREE(3)，我們用紅、藍、綠三種顏色，這下神奇的事情發(fā)生了，按照這種規(guī)則我們好像可以無窮無盡的畫下去。
那究竟可不可以畫完呢？TREE(3)究竟是不是無窮大呢？這就是數學家哈維·弗雷德曼研究的數學問題。結論是：TREE(3)并不是無窮大，而是一個有限的數字，只是比葛立恒數還要大得多。
那TREE(3)不是無窮大這個結論是如何證明出來的呢？如果TREE(3)是無限大，那TREE(3)就沒有任何討論的意義了。就像我們都知道自然數的個數是無限的，討論最大的自然數沒有意義。
TREE(3)這個數是有限的這個結論是經過了嚴密的證明的，證明人就是計算機領域大名鼎鼎的克魯斯卡爾。他的證明過程我們可以用一句話總結：如果TREE(3)是無限的，那就一定存在違反規(guī)則的情況（一定會存在后面包含前面的情況）。
這種證明方式很巧妙，外行甚至會覺得這是耍小聰明。但是懂行地知道，這是非常厲害且巧妙的一種方法。
那我們如何理解TREE(3)的大小呢？前面我們理解葛立恒數用的是高德納箭頭，但是這種方法在TREE(3)面前根本不管用。面對TREE(3)，我們需要用到“超運算表示法” 。
我們可以舉個例子來理解超運算：
a+b表示a加上b個1的和，用a[1]b表示。
a*b表示b個a相加之和，用a[2]b表示。
a^b表示b個a相乘，用a[3]b表示。
迭代冪次b個a重冪表示a^a^a^···^a^a（一共b個a），用a[4]b表示，從右往左運算。
舉個例子，超4運算：2[4]4=2^2^2^2=2^2^4=2^16 。
了解了超運算之后，這里我們引入a[n]b，超n運算，這里a是底數，b是超指數，n則是階數。舉個例子2[5]4=2^2^2^···^2^2，一共65536個2 。這已經不是指數爆炸了，這是一個天文數字了，比宇宙中所有原子的數量還要多得多。
利用超運算，數學家引入了一個阿克曼函數，太復雜，這里就不展開了：
總之記得這個阿克曼函數：A(x)=2[x+1]x 。
通過嵌套，數學家們計算出葛立恒數約為：A^64(4)，而TREE(3)用超運算法，通過阿克曼函數表示就是：
TREE(3)=A^A(187196)(1)
所以我們說葛立恒數在TREE(3)面前小的不能再小了。我們的大腦根本無法想象這個數到底有多大，我們舉個例子幫助大家理解：你在1后面寫0，假設物質和空間均是無限的，你一個普朗克時間寫一個0，那么從宇宙誕生直到宇宙毀滅，你都寫不完這個數。
在數學上，我們想要構造出一個巨大無比的數字是非常簡單的，但是我們永遠也無法理解這個數字究竟有多大，這才是我們的無奈。我們明明無法理解這些大數字，但是我們卻知道這些大數字都是有限的，且有數學意義的。
不僅如此，TREE(3)是有限的，TREE(TREE(3))也是有限的，但是我們無法理解。這就是數學的有趣之處。
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