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畢達(dá)哥拉斯定理證明（畢達(dá)哥拉斯定理證明方法）
有一個數(shù)學(xué)定理是每個人在學(xué)校都要學(xué)習(xí)的，這個定理在西方一般稱為畢達(dá)哥拉斯定理，而在中國，我們習(xí)慣把它叫做勾股定理。因此，在本文中，我們有時會說畢達(dá)哥拉斯定理，有時又稱其為勾股定理。
該定理一般被描述為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，那么可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為：a2+b2=c2 。
有趣的是，雖然畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯定理，但是遠(yuǎn)在畢達(dá)哥拉斯出生前，這一定理便早已廣為人知。
在哥倫比亞大學(xué)圖書館，現(xiàn)今仍保存著一份被命名為《普林頓322》的表。該表是從集市購得的泥版文書，因曾被一個叫普林頓的人收藏而得名，“322”是普林頓的收藏編號，但其最初來源不詳。《普林頓322》實是一張表格，上面記載的文字屬古巴比倫語，可推測所屬年代在公元前1600年以前。它含有4列15行數(shù)字，經(jīng)研究，人們普遍認(rèn)為，這張表展現(xiàn)了部分畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組的推導(dǎo)過程。畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組是由三邊均為整數(shù)的直角三角形的三邊長組成，例如（3，4，5）和（5，12，13）都構(gòu)成畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組，因為32+42=52，52+122=132 ?！镀樟诸D322》的存在表明早在畢達(dá)哥拉斯1000多年以前，古巴比倫人就已經(jīng)知道了畢達(dá)哥拉斯定理。
被稱為《普林頓322》的巴比倫表。它是自古以來被研究得最多的一份數(shù)學(xué)資料。人們認(rèn)為它是畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組的一個列表，制于畢達(dá)哥拉斯出生的1000年前。
古希臘幾何學(xué)家歐幾里德（Euclid，約公元前300年）在編著《幾何原本》時，認(rèn)為這個定理是畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，并流傳至今。
而關(guān)于勾股定理的名稱，則來源于中國最早的數(shù)學(xué)和天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》 ?！吨荀滤憬?jīng)》，原名《周髀》，是我國最古的一部蓋天學(xué)說的天算著作。因書中含有算學(xué)內(nèi)容，在唐代時被定為國子監(jiān)算學(xué)科必修的十部算經(jīng)之一。撰者不詳。成書期據(jù)考證大約是西漢時期。書中開頭就以周公與商高對話形式，給出了勾股定理的一個特例：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。”在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股" 。商高這段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5 。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五” 。
后來周公的后代陳子把商高的“勾三股四弦五”的結(jié)論32+42=52推而廣之，說了下面一句十分重要的有歷史意義的話：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘 , 并而開方除之，得邪至日 ?！贝搜酝瑯映鲎浴吨荀滤憬?jīng)》卷上，用現(xiàn)在的話來講就是“弦2=勾2+股2 ” 。這實際上已把勾股定理的運(yùn)用推廣到了任意直角三角形。
由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們又把這個定理叫作“商高定理” 。
商高是公元前十一世紀(jì)的西周數(shù)學(xué)家，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）則是公元前五世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家，比商高晚了500多年，所以一些人認(rèn)為中國人比西方人早500年發(fā)現(xiàn)了勾股定理，并以此為自豪。但是如果將該定理的最早發(fā)現(xiàn)權(quán)歸功于公元前1600年的古巴比倫人，那么我們則要晚上約500年。這樣看來，就有些盲目自豪了。其實中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就早已被世界范圍的數(shù)學(xué)家們所認(rèn)同，不一定非得爭第一才肯罷休。最近看一些外國人寫的書，從字里行間發(fā)現(xiàn)他們對中國古代數(shù)學(xué)有很深的研究，這已經(jīng)是最好的證明。
下面我們再來說說該定理的證明。
雖然畢達(dá)哥拉斯定理早就被畢達(dá)哥拉斯同時代及其之前的人們所熟知，但是第一個真正給出該定理的證明過程的卻是比畢達(dá)哥拉斯晚約200年的歐幾里得。歐幾里得在其皇皇巨著《幾何原本》給出了畢達(dá)哥拉斯定理的證明，他的證明可謂巧妙至極，該命題位于第Ⅰ卷第47號命題，因此一般稱為命題Ⅰ.47 。
【命題Ⅰ.47】在直角三角形中，斜邊上的正方形面積等于兩直角邊上的正方形面積之和。
值得注意的是，歐幾里得的命題并不是關(guān)于代數(shù)方程a2+b2=c2的，而是述及了一種幾何現(xiàn)象，實則與代數(shù)形式等價。為了證明以AC和BC為邊的兩個小正方形面積之和等于以斜邊AB為邊的大正方形面積（如下圖）。他采用了一個非常奇妙的方法，從直角頂點開始作線段CL，使之與大正方形的邊平行，并將大正方形分割成兩個矩形。現(xiàn)在，歐幾里得只要證明一個顯著的事實即可：左邊矩形ADLK的面積等于以AC為邊的正方形面積（黃色部分）；同樣，右邊矩形BELK的面積等于以BC為邊的正方形面積（紅色部分）。
【證明】過點C作CL//AD交AB于點K，交DE于點L，連接CD，BF，則CL⊥DE，且CL⊥AB 。
在△ACD與△AFB中，
因為 AC=AF，AD=AB，∠CAD=∠BAD+∠BAC=∠CAF+∠BAC=∠FAB，
所以，△ACD≌△AFB，從而△ACD與△AFB的面積相等。
接下來，由于△ACD與矩形ADLK有一條公共邊AD，并且位于同兩條平行線AD與CL之間，因此，矩形ADLK的面積等于△ACD面積的2倍。同理，因為△AFB與正方形ACGF有一條公共邊AF，并且位于同兩條平行線AF與BG之間，因此，正方形ACGF的面積等于△AFB面積的2倍。
從而正方形ACGF的面積與矩形ADLK的面積相等。
用同樣的方法可以證明：正方形BCHI的面積與矩形BELK的面積。
至此，畢達(dá)哥的斯定理得以證明，因為：
S（正方形ABED）
=S（矩形ADLK）+S（矩形BELK）
=S（正方形ACGF）+S（正方形BCHI）
證畢。
1566年版《幾何原本》中的命題Ⅰ.47 。因歐幾里得證明所應(yīng)用的圖形外形看起來像“風(fēng)車”，所以人們常常將其稱作“風(fēng)車”圖形。
我國古代對勾股定理的證明采用的是割補(bǔ)法，最早的形式見于公元3世紀(jì)三國時期吳人趙爽的《勾股圓方圖注》。在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的“弦圖”，其中每一個直角三角形稱為“朱實”，中間的一個正方形稱為“中黃實”，以弦為邊的大正方形叫做“弦實” 。
趙爽弦圖的證法
如果以a、b、c分別表示勾、股、弦之長，根據(jù)大正方形面積（弦實）等于四個直角三角形面積（朱實）與小正形面積（中黃實）之和，得
化簡整理，得

當(dāng)然，勾股定理的證明方法不是只有以上兩種，實際上有數(shù)百種之多，更多方法可見李邁新著《挑戰(zhàn)思維極限：勾股定理的365種證明》一書，書中分門別類收集了勾股定理的365種證明方法。一些常用的證明方法可見好玩的數(shù)學(xué)之前的推文>>勾股定理的這些美妙的證法你知道嗎？
參考資料

天才引導(dǎo)的歷程：數(shù)學(xué)中的偉大定理，[美]William Dunham 著，李繁榮李莉萍譯，機(jī)械工業(yè)出版社，2018.9.
數(shù)學(xué)的故事，[英]Richard Mankiewcz 著，馮速等譯，海南出版社，2014.3.
數(shù)學(xué)演義，王樹和著，科學(xué)出版社，2015.3.

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