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畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問題：邊長(zhǎng)為１的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)√２的誕生。
豈不知，一個(gè)小小√２的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念來說這都是一個(gè)極大的沖擊。希帕索斯后被畢達(dá)哥拉斯投海溺斃。
這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù) 。這在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰！可是為當(dāng)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)所確信的，完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的√２的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬的事！它簡(jiǎn)直把以前所知道的事情推翻了。更糟糕的是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的風(fēng)波，史稱＂第一次數(shù)學(xué)危機(jī)＂。
畢達(dá)哥拉斯本人以發(fā)現(xiàn)勾股定理（西方稱畢達(dá)哥拉斯定理）著稱于世。畢達(dá)哥拉斯對(duì)數(shù)論作了許多研究，將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角數(shù)和五角數(shù)等。在畢達(dá)哥拉斯派看來，數(shù)為宇宙提供了一個(gè)概念模型，數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式，數(shù)不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。
畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)了奇數(shù)和偶數(shù)，也就是不能整除２的數(shù)和能夠整除２的數(shù)；畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)了勾股數(shù)和三角數(shù)，也就是滿足√α2＋β22和。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派證明了＂三角形內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角＂的論斷；研究了黃金分割；發(fā)現(xiàn)了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種－－正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。
畢達(dá)哥拉斯在常數(shù)里面做出了奉獻(xiàn)，那就是√２，二的算數(shù)平方根，大多數(shù)都出現(xiàn)在幾何、代數(shù)、微積分和數(shù)論里，也是世界上第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)和世界上第一個(gè)引起數(shù)學(xué)風(fēng)波的數(shù)字。
在公元前５世紀(jì)，水星實(shí)際上被認(rèn)為是兩個(gè)不同的行星，這是因?yàn)樗鼤r(shí)常交替地出現(xiàn)在太陽的兩側(cè) 。當(dāng)它出現(xiàn)在傍晚時(shí)，被叫做墨丘利；但是當(dāng)它出現(xiàn)在早晨時(shí)，被稱為阿波羅。據(jù)稱，畢達(dá)哥拉斯后來指出它們實(shí)際上是相同的一顆行星。
在音樂方面，畢達(dá)哥拉斯把音程的和諧與宇宙星際的和諧秩序相對(duì)應(yīng)，把音樂納入他的以數(shù)為中心、對(duì)世界進(jìn)行抽象解釋的理論之中。他對(duì)弦長(zhǎng)比例與音樂和諧關(guān)系的探討已經(jīng)帶有的萌芽。對(duì)五度相生律有重大貢獻(xiàn) 。
畢達(dá)哥拉斯成就說，＂一定要公正。不公正，就破壞了秩序，破壞了和諧，這是最大的惡。起誓是很嚴(yán)重的行為，不到關(guān)鍵時(shí)刻不要隨便起誓。＂　自律使你身體健康，心靈潔凈，意志堅(jiān)強(qiáng) 。
二、牛頓（英國）和萊布尼茨（德國）
杰出地位：１）艾薩克·牛頓（１６４３年１月４日—１７２７年３月３１日）爵士，英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，英國著名的物理學(xué)家，百科全書式的“全才”，著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》、《光學(xué)》；２）威廉·萊布尼茨，德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，歷史上少見的通才，被譽(yù)為十七世紀(jì)的亞里士多德。他本人是一名律師，經(jīng)常往返于各大城鎮(zhèn)，他許多的工事都是在顛簸的馬車上完成的，他也自稱具有男爵的貴族身份。
突出貢獻(xiàn)：牛頓和萊布尼茨，都經(jīng)常被授予成為現(xiàn)代微積分的‘發(fā)明者’的榮譽(yù)，因此他們都對(duì)這個(gè)領(lǐng)域做出了巨大的貢獻(xiàn) 。首先，萊布尼茨經(jīng)常因?yàn)橐M(jìn)現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)，特別是整體符號(hào)而受到表揚(yáng) 。他在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域做出了巨大的貢獻(xiàn) 。艾薩克·牛頓，由于偉大的科學(xué)史詩原理，通常成為大多數(shù)人歡迎的主要人成為真正的微積分的發(fā)明者。可以說的是，兩人都以自己的方式作出了巨大的貢獻(xiàn) 。

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