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毫無(wú)疑問(wèn)，黃金比例在數(shù)學(xué)和科學(xué)中是一個(gè)非常奇妙的數(shù)字，而真正讓它有別于其他數(shù)字的一個(gè)重要屬性是它的無(wú)理性。前面我們說(shuō)道，φ是一個(gè)無(wú)理數(shù)，也就是說(shuō)它無(wú)法被表示成任何分?jǐn)?shù)，然而更令人驚訝的是，那就是它是無(wú)理性最強(qiáng)的一個(gè)無(wú)理數(shù) 。這意味著它不僅不能被精確地表示為分?jǐn)?shù)，甚至很難用分?jǐn)?shù)來(lái)近似。這是一個(gè)非常特殊的性質(zhì) 。
為什么說(shuō)φ是無(wú)理性最強(qiáng)的一個(gè)數(shù)字呢？數(shù)學(xué)家在對(duì)一個(gè)無(wú)理數(shù)進(jìn)行近似時(shí)，會(huì)用到由兩個(gè)整數(shù)（m和n）組成的分?jǐn)?shù)m/n，對(duì)任意無(wú)理數(shù)z來(lái)說(shuō)，不同的n值對(duì)應(yīng)不同的m值。要找到z的最佳近似，則是要找出能使z與近似分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值，|z - m/n|，最趨近于0的n，換句話說(shuō)，就是找到近似誤差最小的n 。

文章插圖
上圖中所比較的是π（紅）和φ（藍(lán)）的近似誤差圖，橫坐標(biāo)軸表示的是n從1到200的取值，縱坐標(biāo)是無(wú)理數(shù)與近似值之差 “Error =|z - m/n|” 。可以看出，對(duì)于π來(lái)說(shuō)，當(dāng)n=7和n=113時(shí)，能給出非常好的π的近似。這也正是我們所熟知的 π ≈ 22/7和355/113 。
與π相比，黃金比例φ的近似情況顯然沒(méi)有那么明朗。它的近似誤差曲線比其他無(wú)理數(shù)的近似誤差曲線收斂得更慢。而這背后的原因，是因?yàn)棣站哂幸粋€(gè)特殊性質(zhì)——它可以被表示為一個(gè)“連分?jǐn)?shù)”，使得φ可以被寫(xiě)成這樣一種形式：

文章插圖
它是恒等式 φ - 1 = 1/φ 的一個(gè)直接推論。
φ的連分?jǐn)?shù)形式有一個(gè)關(guān)鍵的特征，那就是每一項(xiàng)都有1存在，這些分母中所包含的1會(huì)導(dǎo)致較大的誤差，從而使得整個(gè)分?jǐn)?shù)收斂緩慢。
相比之下，π的連分?jǐn)?shù)是這樣的：

文章插圖
可以看到它的分母中的數(shù)字都很大，比如7、15 、292等等。這些大的數(shù)字會(huì)使連分?jǐn)?shù)的誤差小得多。
然而，這種用分?jǐn)?shù)對(duì)φ進(jìn)行近似的困難程度，也使它成為了數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家在研究同步過(guò)程時(shí)的一個(gè)非常有用的數(shù)字 ?？梢哉f(shuō)，雖然黃金比例不同于公眾所想象的那般神奇，但當(dāng)你了解了它真實(shí)的樣子之后，或許會(huì)更加驚嘆于數(shù)學(xué)的真正魅力！

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