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我們聽過的很多動(dòng)人心魄的神話可能是始于一個(gè)真實(shí)的故事，它曾在歷史的某個(gè)時(shí)間點(diǎn)上真實(shí)地發(fā)生過，但在代代相傳的傳頌中，被一點(diǎn)一點(diǎn)的蒙上傳奇的色彩，讓真相被一點(diǎn)一點(diǎn)地被拋在腦后。神話之所以總能在人們心中存留和演化，或許是因?yàn)樗鼈兌嗌俪休d著一些隱藏的真理，能夠滿足人類在心靈上的某些需求。
以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬛Q的數(shù)學(xué)似乎是神話的一個(gè)對(duì)立面，但有時(shí)，一些數(shù)學(xué)真理會(huì)在缺乏理解的復(fù)述之下，以“神話”般的形式進(jìn)入到公眾意識(shí) 。今天我們要說就是數(shù)學(xué)中的一則“神話”——黃金比例（黃金分割率）。
什么是黃金比例？
黃金比例是一個(gè)神奇的常數(shù)，我們通常用希臘字母φ來表示它。它出現(xiàn)在很多文學(xué)和藝術(shù)作品中，比如在小說和電影《達(dá)芬奇密碼》就提到了這個(gè)有著神秘色彩的數(shù)字。之所以說它神秘，是因?yàn)榕c數(shù)學(xué)中的許多其他概念相比，這個(gè)數(shù)字的確有著更多的“神話”：它被許多作家描述為是自然界所有美麗圖案的基礎(chǔ)，是神圣的比例；也被稱為是許多藝術(shù)作品和建筑物的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，如希臘的帕特農(nóng)神廟和埃及的金字塔。
黃金比例最早出現(xiàn)在歐幾里得的著作《幾何原本》中，歐幾里得將它定義為：

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那么，φ究竟等于多少呢？我們知道，a / b = φ，且 (a + b) / a = φ，因此上圖中的等式可以變成：

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對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行求解，就能得到：

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由于φ必須大于1，所以我們?nèi)ˇ?= 1.61803…它是一個(gè)無(wú)理數(shù)，這并不難理解，因?yàn)楦?hào)5正是一個(gè)無(wú)理數(shù)，也就是說它是一個(gè)無(wú)法被寫成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù) 。這是黃金比例的一個(gè)非常重要的性質(zhì) 。
一維的黃金比例還可以延伸為所謂的黃金矩形，我們可以根據(jù)以下步驟畫出一個(gè)黃金矩形：
1、首先需要畫一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形；2、然后取正方形的一條邊（比如底邊）的中點(diǎn)：以該中點(diǎn)為圓心，以中點(diǎn)到與對(duì)邊相連的一個(gè)頂點(diǎn)的距離為半徑畫圓；3、延長(zhǎng)底邊，讓它與圓弧相交，得到的交點(diǎn)便是黃金矩形的一個(gè)角。

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除了黃金矩形之外，黃金比例φ還有另一個(gè)可愛的幾何表達(dá)，那就是它是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正五邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度。（讀者可以試著用余弦定理來檢驗(yàn)喲！）

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如上圖所示，由對(duì)角線和底邊形成的邊長(zhǎng)為1、φ、φ的等腰三角形BAD，被稱為黃金三角形，它在五重對(duì)稱的研究中頻繁出現(xiàn)，例如就是由五個(gè)黃金三角形構(gòu)成的：

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其實(shí)，定義黃金比例的方法有很多，一個(gè)非常著名的例子是斐波那契數(shù)列：

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這個(gè)序列中的下一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和，是由斐波那契提出的一種用來理解兔子種群增長(zhǎng)的方法，它在理解人口增長(zhǎng)方面具有重要作用。
這個(gè)數(shù)列是如何與黃金比例聯(lián)系在一起的呢？最早發(fā)現(xiàn)這一驚人秘密的是開普勒（Johannes Kepler），他注意到，如果取這個(gè)序列中的兩兩相連的數(shù)字之比（后一項(xiàng)比前一項(xiàng)），得到的比值就可以形成數(shù)列：

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