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如果一個數(shù)是兩個整數(shù)的比值(例如，1 / 10、-5 / 23、1543 / 10等等)，那么它就是有理數(shù) 。否則，它就是非理性的 。
當你聽到“理性”和“非理性”這兩個詞時，你可能會想到冷靜、善于分析的電視劇《星際迷航》里的斯波克先生(Mr. Spock)和電視劇《識骨尋蹤》里頭腦冷靜、情緒多變的斯波克博士(Dr. Spock)之間的區(qū)別 。除非你是數(shù)學家，否則你可能不會想到整數(shù)與平方根的比值，這種東西會讓我們當中的非數(shù)學家感到困惑，就像我們聽到女王用克林貢語演唱的《波西米亞狂想曲》一樣 。
但在數(shù)學領(lǐng)域，詞匯有時有特定的含義，與日常用法非常不同，有理數(shù)和無理數(shù)之間的區(qū)別，與推理、邏輯以及原始的情感沖動沒有任何關(guān)系 。
記住“比率”這個詞埃里克·D·柯拉齊克（Eric D. Kolaczyk）解釋道：“在記住有理數(shù)和無理數(shù)之間的區(qū)別時，想想一個詞：比率 ?！彼遣ㄊ款D大學數(shù)學和統(tǒng)計系的教授，也是該大學Rafik B. Hariri計算和計算科學與工程研究所的主任 。
柯拉齊克說：“如果你能把一個數(shù)寫成兩個整數(shù)的比率(例如，1 / 10、-5 / 23、1543 / 10等等)，那么我們就把它歸為有理數(shù) 。否則，我們就說這是無理數(shù) ?！?br /> 你可以將一個整數(shù)或一個分數(shù)(整數(shù)的一部分)表示為一個比率，用一個稱為分子的整數(shù)加上另一個稱為分母的整數(shù) 。把分母除以分子 。這可以給你一個數(shù)字，比如1/4或500/10(也就是50) 。
與有理數(shù)相比，無理數(shù)是相當復雜的 。正如數(shù)學世界網(wǎng)站（Wolfram MathWorld）解釋的那樣，它們不能用分數(shù)來表示，當你試圖把它們寫成一個有小數(shù)點的數(shù)字時，這些數(shù)字就會一直持續(xù)下去，沒有任何停止或重復的模式 。
那么，什么樣的數(shù)字會表現(xiàn)得如此瘋狂呢？基本上，那些描述復雜事物的 。也許最著名的無理數(shù)是π，希臘字母p，表示圓周長與圓直徑之比 。正如數(shù)學家斯蒂文·波卡特（Steven Bogart）在1999年《科學美國人》的一篇文章中解釋的那樣，無論圓有多大，比值總是等于圓周率 。自從大約4000年前巴比倫的數(shù)學家們開始嘗試計算圓周率以來，一代又一代的數(shù)學家們一直孜孜不輟，創(chuàng)造出了越來越長的不重復模式的小數(shù)串 。2019年，谷歌研究人員?，敗す炖ぐ郑‥mma Hakura Iwao）成功地將圓周率擴展到31415926535897位或者31.4萬億個小數(shù)位，這比之前最高紀錄高出9萬億位數(shù) 。
有時，一個平方根，也就是一個數(shù)的一個因數(shù)，當它與自己相乘時，得到的是一個數(shù)，它是無理數(shù)，除非它是一個完全平方的整數(shù)，比如416的平方根 。其中一個最明顯的例子是√2，結(jié)果是1.414加上一個無限的非循環(huán)數(shù)字串 。這個值對應(yīng)于正方形對角線的長度，這是古希臘人在勾股定理中最先描述的 。
為什么我們要用“理性”和“非理性”這兩個詞?為什么我們稱它們?yōu)槔硇院头抢硇裕窟@似乎有點模糊 。柯拉齊克說：“我們確實通常用‘理性’來表示基于理性或類似的東西 。”根據(jù)《牛津英語詞典》，這個詞在數(shù)學中的使用似乎早在13世紀的英國文獻中就出現(xiàn)了 。如果你把‘理性’和‘比例’都追溯到它們的拉丁詞根，你會發(fā)現(xiàn)廣義上來說，這兩個詞根都與‘推理’有關(guān) 。”
更清楚的是，理數(shù)和無理數(shù)在文明的進步中都扮演了重要的角色 。馬克·澤加雷利(Mark Zegarelli)是一名數(shù)學老師，寫了10本《傻瓜們》系列叢書，他解釋說：“雖然語言可能可以追溯到人類的起源，但數(shù)字的出現(xiàn)要晚得多 。采獵者可能不需要太多的數(shù)字精度，只需要粗略估計和比較數(shù)量的能力 。”
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