什么是點集拓撲學(xué)？建議網(wǎng)上搜索一下 。對數(shù)學(xué)系學(xué)生說來，以前數(shù)學(xué)的三大基礎(chǔ)課是高等代數(shù)，解析幾何，數(shù)學(xué)分析，俗稱老三高 。現(xiàn)在則是新三高，近世代數(shù)，拓撲學(xué)，泛函分析 。你問的就是這基礎(chǔ)部分 。rr點集拓撲學(xué)，有時也被稱為一般拓撲學(xué)，是數(shù)學(xué)的拓撲學(xué)的一個分支 。它研究拓撲空間以及定義在其上的數(shù)學(xué)構(gòu)造的基本性質(zhì) 。這一分支起源于以下幾個領(lǐng)域：對實數(shù)軸上點集的細致研究，流形的概念，度量空間的概念，以及早期的泛函分析 。它的表述形式大概在1940年左右就已經(jīng)成文化了 。通過這種可以為所有數(shù)學(xué)分支適用的表述形式，點集拓撲學(xué)基本上抓住了所有的對連續(xù)性的直觀認識 。一、點集拓撲的起源點集拓撲學(xué)產(chǎn)生于19世紀 。G.康托爾建立了集合論，定義了歐幾里得空間中的開集、閉集、導(dǎo)集等概念，獲得了歐幾里得空間拓撲結(jié)構(gòu)的重要結(jié)果 。1906年M.-R.弗雷歇把康托爾的集合論與函數(shù)空間的研究統(tǒng)一起來，建立了廣義分析，可看為拓撲空間理論建立的開始 。二、點集拓撲的主要理論內(nèi)容泛函分析的興起，希爾伯特空間和巴拿赫空間的建立，更促進了把點集當(dāng)作空間來研究 。數(shù)學(xué)分析研究的中心問題是極限，而收斂與連續(xù)又是極限的基本問題 。為把收斂與連續(xù)的研究推廣到一般集合上，需要在一般集合上描述與點或與集合“鄰近”的概念 。如何描述“鄰近”，可以用“距離”，但“距離”與“鄰近”并無必然的聯(lián)系 。1914年F.豪斯道夫開始考慮用“開集”來定義拓撲 。對一個非空的集合X，規(guī)定X的每點有一個包含此點的子集作成的子集族，滿足一組開集公理（即仿照歐幾里得空間鄰域所具特性給出的一組性質(zhì)） 。該子集族中的每個集合稱為這點的一個鄰域 。這就給出了X的一個拓撲結(jié)構(gòu) 。X連同此拓撲結(jié)構(gòu)稱為一個拓撲空間 。X的每點有鄰域，故可研究一點的鄰近，由此可仿照微積分的方法定義兩個拓撲空間之間的連續(xù)映射的概念 。若一個映射連續(xù)，且存在逆映射，逆映射也連續(xù)，則稱此映射為同胚映射 。具有同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的（直觀地說即兩個空間相應(yīng)的圖形從一個可連續(xù)地形變?yōu)榱硪粋€） 。三、研究意義要證明兩個空間同胚，只要找到它們之間的同胚映射即可 。在歐幾里得直線上，作為子空間，兩個任意的閉區(qū)間同胚；任意兩開區(qū)間同胚；半開半閉的區(qū)間[c，d]與[a,b]同胚 。二維球面挖去一個點s2－p與歐幾里得平面K2同胚 。要證明兩個拓撲空間不同胚，需證明它們之間不存在同胚映射 。方法是找同胚不變量或拓撲不變性（即在同胚映射下保持不變的性質(zhì)）；第一個空間具有某同胚不變量，另一個空間不具有，則此二空間不同胚 。一般拓撲學(xué)中常見的拓撲不變性有連通性、道路連通性、緊性、列緊性、分離性等（見拓撲空間） 。在歷史上F.豪斯多夫提出了分離空間；弗雷歇看出了緊性與列緊性有密切關(guān)系；L.S.烏雷松對緊空間進行了系統(tǒng)研究，且在拓撲空間可否變量化的問題上作出了貢獻；1937年H.嘉當(dāng)引進了“濾子”的概念，能進一步刻畫一致收斂，使收斂的更本質(zhì)的屬性揭示了出來；維數(shù)的問題是E.嘉當(dāng)在研究皮亞諾曲線（一種可填滿整個正方形的“曲線”）時提出的，1912年H.龐加萊給出定義，由烏雷松等人加以改進 。四、學(xué)好拓撲需要注意的1、熟練掌握最基本的定義、定理 。因為證明某個命題，往往是從定義出發(fā)去證明的，而且點集拓撲學(xué)中出現(xiàn)的定義特別多，又有聯(lián)系，因而熟記定義是學(xué)好拓撲學(xué)的關(guān)鍵；2、熟悉拓撲學(xué)中常用符號，并能正確書寫 。點集拓撲學(xué)中符號多而且復(fù)雜，掌握常用數(shù)學(xué)符號的意義是必須的；3、證明某個命題，要證到什么程度才算證完，要心中有數(shù)，每一步推理都要有根有據(jù)，根據(jù)只能是前面的定義、定理，有時也可參考一下集合的文氏圖；4、證明時用到的根據(jù)切不可將數(shù)學(xué)分析中的結(jié)論想當(dāng)然地引入，因為數(shù)學(xué)分析中的實數(shù)空間是非常完美的度量（拓撲）空間，既是A1 ,A2的，又是T4的, 而要證的命題不一定具備這樣的條件 。
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