復(fù)數(shù)的概念是什么把形如a+bi的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中a和b均是實(shí)數(shù)，其中a稱為實(shí)部，b稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位 。當(dāng)虛部等于零時(shí)，這個(gè)復(fù)數(shù)可以視為實(shí)數(shù) 。當(dāng)z的虛部不等于零時(shí)，而實(shí)部等于零時(shí)，常稱z為純虛數(shù) 。復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的代數(shù)閉包，也即任何復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中總有根 。復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，進(jìn)過不斷擴(kuò)展深入，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受 。復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的本質(zhì)是什么？復(fù)數(shù)(Complex)作為實(shí)數(shù)的拓展歷史悠久, 一度曾被叫做子虛烏有的數(shù)(imaginary), 直到十八世紀(jì)初經(jīng)過棣莫弗及歐拉大力推動(dòng), 才被數(shù)學(xué)家們漸漸接受.確實(shí)理解復(fù)數(shù)確實(shí)需要一點(diǎn)時(shí)間, 不過它并不復(fù)雜, 而且利用它還能畫出非常美麗的變換和分形圖形, 這次讓我們用圖形可視化的方式來擁抱這個(gè)概念.復(fù)數(shù), 作為實(shí)數(shù)理論的延伸先來看看在實(shí)數(shù)軸上兩個(gè)數(shù)的加減乘除這 4 種運(yùn)算. 觀察到紅藍(lán)兩個(gè)點(diǎn)(數(shù)), 在不同的計(jì)算下, 其結(jié)果(綠點(diǎn))的變化, 不管數(shù)怎樣變化, 都總還落在數(shù)軸上(除法分母為 0 時(shí)候, 當(dāng)然沒有意義).再來看下圖中, 任何實(shí)數(shù)乘以 -1 的結(jié)果都會(huì)落在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱相應(yīng)的位置上. 所以乘以 -1 的計(jì)算可以理解為該點(diǎn)(數(shù))繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了半圈.數(shù)學(xué)家進(jìn)一步思考, 既然乘以 -1 是轉(zhuǎn)動(dòng) 180°, 那么只轉(zhuǎn)動(dòng)了 90° (比如整數(shù) 1 )落在哪里? 有什么意義呢?進(jìn)入新的二維復(fù)數(shù)平面這是19世紀(jì)數(shù)學(xué)史上非常重要的一步, 現(xiàn)在不在是在一維的實(shí)數(shù)軸上, 而是進(jìn)入了二維的復(fù)平面.考慮到轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè) 90° 會(huì)剛好到 -1. 所以認(rèn)為 -1 的平方根是相應(yīng)于 1 的一個(gè) 90度的旋轉(zhuǎn)(也就是 1*i*i=-1), 這樣在平面上與實(shí)數(shù)軸垂直的單位線段, 稱為是 1 個(gè)虛數(shù)單位 i . 于是有著性質(zhì):這個(gè)沒在實(shí)數(shù)軸上奇怪的點(diǎn)實(shí)際上落在復(fù)數(shù)平面(complex plane, 或稱為阿爾岡平面)上了, 所有在復(fù)平面上的數(shù)都滿足 z=a+b i 這樣的結(jié)構(gòu), 稱之為復(fù)數(shù). 其中a 稱為實(shí)部(real part), b 為虛部(imaginary part). 如下圖 1+2i 復(fù)數(shù), 1 和 2 是實(shí)數(shù), i 是虛數(shù)單位, 這樣的復(fù)平面幾何表示如下圖所示:現(xiàn)在來看直角坐標(biāo)平面是二維的, 需要兩個(gè)數(shù)(x,y)來描述任意一點(diǎn)的位置, 但現(xiàn)在用一個(gè)復(fù)數(shù)就夠了, 可以用實(shí)數(shù)組(a,b)代表這個(gè)復(fù)數(shù), 并且可以在復(fù)平面上繪制出來. 不過請(qǐng)記住這里應(yīng)該將每個(gè)這樣的點(diǎn)看做一個(gè)復(fù)數(shù), 而不是一對(duì)實(shí)數(shù).還有三個(gè)新概念需要知曉:復(fù)數(shù)的模(modulus, 通常寫為 |z|) : 模就是它長度 r: 從原點(diǎn)到 z 點(diǎn)之間的距離輻角(argument, 通常寫為 arg(z)): 輻角 φ 就是與實(shí)軸的夾角復(fù)數(shù)的共軛(conjugate,通常寫為 ˉz): 共軛就是 a-b i 的形式觀察下圖可以更好理解上述三個(gè)概念:復(fù)數(shù)的運(yùn)算操作復(fù)數(shù)有如何運(yùn)算, 比如可以兩兩相加, 也就是兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相加, 可以看成是平移的操作.復(fù)數(shù)也可以有數(shù)乘運(yùn)算, 就是對(duì)模的放大或縮小了:復(fù)數(shù)的乘法, 就如上面所述, 數(shù)乘以 i 相當(dāng)于這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng) 90°:z1*z2 兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘其實(shí)就是旋轉(zhuǎn)+伸縮兩種變換, 也就是兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相乘(伸縮大小), 輻角相加(旋轉(zhuǎn)量).如果對(duì)圖片中的每一點(diǎn)做復(fù)數(shù)運(yùn)算的變換, 可以得到各種有趣的平面變換圖像. 這里為了紀(jì)念歐拉大神, 就以他老人家頭像為例, 比如做乘以 2 i 的函數(shù)變換 - 旋轉(zhuǎn) 90°, 同時(shí)放大了2 倍的變換; 另一個(gè)變換函數(shù)為三次方, 你也可以思考為什么會(huì)變成這個(gè)形狀呢? :-)　最美的數(shù)學(xué)公式 - 歐拉公式復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)可以轉(zhuǎn)成極坐標(biāo)(不清楚可查看這里)的形式 (r,θ), 那么該點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)是什么呢？可用 x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ) 來轉(zhuǎn)化到笛卡爾坐標(biāo). 所以極坐標(biāo) (r, θ) 表示復(fù)數(shù)z = x + iy = r cos(θ) + i r sin(θ).特別的, 如果 r = 1, 則 z = cos(θ) + i sin(θ).形如 r e^(i θ) 的復(fù)數(shù)為極坐標(biāo)形式, 并且與之相對(duì)的 x+iy 為笛卡爾形式. 1743 年, 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出了著名的歐拉公式, 對(duì)所有實(shí)數(shù) θ 都成立:特別當(dāng) θ=π 時(shí)，歐拉公式的特殊形式更是被評(píng)為數(shù)學(xué)上最美的公式:這個(gè)簡潔公式包括了 5 個(gè)數(shù)學(xué)上最重要的常數(shù): 0, 1(自然數(shù)的基本單位), e(描述變化率的自然指數(shù)), π 以及 i(虛數(shù)的基本單位).我們可以很快用幾何的方法來證明該等式, 觀察下圖不同的 θ 值對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo) e^θ, 請(qǐng)留意動(dòng)畫停頓之處(特別是在復(fù)平面旋轉(zhuǎn)角度為 180°, 點(diǎn)落到等于 -1 的時(shí)刻), 相信就會(huì)理解上面的歐拉等式:參考資料:阿德里安·班納, 《普林斯頓微積分讀本》(修訂版)https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/維基百科(完) [遇見數(shù)學(xué)] 制作rr（小石頭來嘗試著回答這個(gè)問題）復(fù)數(shù)出現(xiàn)的原因，大家都知道，是為了讓方程：有解 。為了達(dá)成這個(gè)目的，我們需要尋找一個(gè)新的數(shù)字 i，使得 i2 = -1 ①，并且 i 還可以參與四則運(yùn)算（加、減、乘、除） 。顯然，這個(gè) i 不是一維直線（記為 ?）中的任意實(shí)數(shù)，于是 將眼光 投入 二維平面（記為 ?2）中的某個(gè)向量 a = (x, y) 。為了讓 a 看起來像是一個(gè)數(shù)字，從而可以作為 i 的候選者，我們需要讓 向量 具有類似數(shù)字的四則運(yùn)算的能力 。在《解析幾何》中，已經(jīng)定義有向量的加法（設(shè)，b =(u, v) ∈ ?2），a + b = (x + u, y + v)然后，利用 向量的數(shù)乘（設(shè)，λ ∈ ?)，λa = (λx, λy)可以定義 a 的負(fù)數(shù)，-a = (-1)a而減正就是加負(fù)，a - b = a + (-b)關(guān)于向量的乘法，在《解析幾何》中 定義有，點(diǎn)乘（內(nèi)積）：a?b = xu + yv叉乘（外積）：a×b = (xv - uy) k （k 是 垂直于 平面 ?2 的 單位法向量）觀察 實(shí)數(shù) ? 中的乘法，有 a,b ∈ ? ? ab ∈ ?，這稱為運(yùn)算的封閉性 。而，顯然 點(diǎn)乘（結(jié)果是實(shí)數(shù) ∈ ?） 和 叉乘 （結(jié)果是三維向量 ∈ ?3） 都不具有 封閉性，不能當(dāng)做向量乘法！不過，我們可以結(jié)合 點(diǎn)乘 和 叉乘，嘗試定義向量乘法：ab = (a?b, a×b?k) = (xu + yv, xv - uy) ②這個(gè)定義具有封閉性，如果，還能在該定義下，找到 滿足要求 ① 的 向量 i，那么我們就可以正式采用這個(gè)定義了 。我們不妨將 平面中的 X軸 設(shè)為 ?，這樣 任意 實(shí)數(shù) a 就對(duì)應(yīng) 向量 (a, 0)，即，a = (a, 0)其中，-1 = (-1, 0)另一方面，因?yàn)?i 不屬于 X軸，所以 可以考慮 讓 i 屬于 Y軸，于是 i 與 Y軸 中的 某個(gè)點(diǎn) (0, b) 對(duì)應(yīng)，即，i = (0, b)使用 乘法定義②，再結(jié)合對(duì)于 i 的要求 ①，有，i2 = ii = (0, b)(0, b) = (00 + bb, 0b - b0) = (b2, 0) = (-1, 0) = -1顯然，還是因?yàn)?b2 ≠ -1，使得 在 ② 下 沒有滿足 ① 的 b，于是，我們需要對(duì) 定義 ② 進(jìn)行改進(jìn) 。其實(shí)，我們僅僅需要交換 ② 中的 加減號(hào)位置，即，ab = (xu - yv, xv + uy)就可以，得到：i2 = (00 - bb, 0b + b0) = (-b2, 0) = (-1, 0) = -1這時(shí)，由 -b2 = -1 ，解的 b = ±1，OK！不妨設(shè) i = (0, 1) ，于是 我們找到了滿足 ① 的 i，這說明，調(diào)整后的定義有效，我們把它作為乘法的定義！若，令 ā = (x, -y) 則，乘法定義為：ab = (xu - yv, xv + uy) = (xu + (-y)v, xv - u(-y)) = (ā?b, ā×b?k) ②'這里 ā 和 a 關(guān)于 X 軸對(duì)稱，稱 ā 為 a 的共軛 。注：很容易 從 共軛 得到 a 關(guān)于 Y軸的 對(duì)稱 (-x, y) = -(x, -y) = - ā。有了乘法定義，我們就可以定義除為乘以倒數(shù)，即：a/b = ab?1倒數(shù) a?1 具有性質(zhì)：aa?1 = 1而，aā = (x2 + y2, xy - yx) = (x2 + y2, 0) = x2 + y2 = a?a可見，a?1 = ā/(a?a)到這里，?2 中的 向量 就具有了 四則運(yùn)算能力，可以當(dāng)做數(shù)字，稱為 復(fù)數(shù)，同時(shí)，將 ?2 記為 ?，稱為復(fù)平面，X 軸依然稱為實(shí)軸，其中的點(diǎn) 就是 實(shí)數(shù)，而把 Y 軸稱為 虛軸，其中的點(diǎn) 稱為 虛數(shù) 。在數(shù)學(xué)上，?2 也稱為歐氏（向量）空間，其中向量本來就具有 加減運(yùn)算，而 除法是乘法的逆運(yùn)算，因此，以上 讓其 變?yōu)?? 的 主要工作是定義乘法，故，我們有，小結(jié)論： 復(fù)數(shù)的本質(zhì)就是定義了乘法的歐氏空間 ?2 中的向量 。對(duì)于 ? 中的任意 復(fù)數(shù) z = (x, y)，利用前面推導(dǎo)的結(jié)論，有，z = (x, y) = (x + 0, 0 + y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y0, y1) = (x, 0) + y(0, 1) = x + yi這就是，我們熟悉的 復(fù)數(shù)一般表示，i 稱為 虛單位 。其中，x 和 y 分別稱為 復(fù)數(shù) z 的 實(shí)部 和 虛部，有，x = Re(z) = (z + ?)/2y = Im(z) = (z - ?)/(2i)注：其實(shí)，1 = (1, 0) 和 i = (0, 1) 是 ? = ?2 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，任何 一個(gè) 復(fù)數(shù) z = (x, y) 都可以線性表示為：z = x1 + yi = x + iy這說明，復(fù)數(shù)一般表示，就是向量的線性表示 。將 復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng) 向量 的長度 稱為 復(fù)數(shù) 的 模，記為 |z| = √(z?z) = √(x2 + y2) ，將 向量 和 X 軸正方向 的 夾角，稱為 輻角，記為 Arg(z) 。若，令，r = |z|, θ = Arg(z) ，則 z 為：z = r(cos θ, sin θ)= r(cos θ + i sin θ) ③這就是 復(fù)數(shù)的 三角表示 。又設(shè)，w = s(cos φ + i sin φ) 則，根據(jù)《三角學(xué)》知識(shí) 有，zw = (r(cos θ + i sin θ) )(s(cos φ + i sin φ) ) = (rs)(cos θ cos φ - sin θ cos φ, i(cos θ sin φ + sin θ cos φ) = (rs)(cos( θ+φ) + isin(θ+φ))可見，復(fù)數(shù)乘法的 幾何意義是 ④：模相乘，輻角相加 。另一方面，根據(jù)《高等數(shù)學(xué)》邁克勞林公式：有，進(jìn)而，得到 歐拉公式：再和 ③ 處連等，有，這就是 復(fù)數(shù)的 指數(shù)表示 。驗(yàn)證，乘法：依然符合 結(jié)論 ④ 。于是，我們得到 結(jié)論：復(fù)數(shù)的本質(zhì)就是 歐氏空間 ?2 中的向量，定義了，模相乘輻角相加，的乘法 從而 升級(jí)而成的數(shù)字 。復(fù)平面 ? 本質(zhì)就是 歐氏空間 ?2 中定義了 乘法運(yùn)算，實(shí)單位 1 = (1, 0) 和 虛數(shù)單位 i = (0, 1) 本質(zhì)是 ? 的 標(biāo)準(zhǔn)正交基，復(fù)數(shù) z = x + yi 本質(zhì)就是 向量的線性表示 。最后，回到開頭，復(fù)數(shù)的出現(xiàn)，使得：（一元）多項(xiàng)式方程，必然存在 一個(gè)復(fù)根這就是 代數(shù)基本定理 。（這是一個(gè)開放性問題，不同的人對(duì)復(fù)數(shù)的本質(zhì)有不同的理解，數(shù)學(xué)家會(huì)給出非常深?yuàn)W的答案，而小石頭只能在數(shù)學(xué)的淺灘潦草的勾勒一些浮沙，大家見笑了！各位聰明的條有大家有什么高見呢？）注：更深?yuàn)W的答案是存在的，比如，稱 ? 為復(fù)數(shù)域，它是 實(shí)數(shù)域 ? 的 擴(kuò)域，是 一個(gè)代數(shù)閉域 。

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