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所謂天元術 ， 就是一種用數學符號列方程的方法 ， “立天元一為某某”相當于今“設x為某某”是一致的 。在中國 ， 列方程的思想可追溯到漢代的《九章算術》 ， 書中用文字敘述的方法建立了二次方程 ， 但沒有明確的未知數概念 。到唐代 ， 王孝通已經能列出三次方程 ， 但仍是用文字敘述的 ， 而且尚未掌握列方程的一般方法 。經過北宋賈憲、劉益等人的工作 ， 求高次方程正根的問題解決了 。隨著數學問題的日益復雜 ， 迫切需要一種普遍的建立方程的方法 ， 天元術便在北宋應運而生了、洞淵、石信道等都是天元術的先驅 。但直到李冶之前 ， 天元術還是比較幼稚的 ， 記號混亂、復雜 ， 演算煩瑣 。例如李冶在東平（今山東省東平縣）得到的講天元術的算書中 ， 還不懂得用統(tǒng)一符號表示未知數的不同次冪 ， 它“以十九字識其上下層 ， 曰仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼 ?！边@就是說 ， 以“人”字表示常數 ， 人以上九字表示未知數的各正數次冪（最高為九次） ， 入以下九字表示未知數的各負數次冪（最低也是九次） ， 其運算之繁可見一斑 。從稍早于《測圓海鏡》的《鈴經》等書來看 ， 天元術的作用還十分有限 。
李冶則在前人的基礎上 ， 將天元術改進成一種更簡便而實用的方法 。當時 ， 北方出了不少算書 ， 除《鈴經》外 ， 還有《照膽》、《如積釋鎖》、《復軌》等 ， 這無疑為李冶的數學研究提供了條件 。特別值得一提的是 ， 他在桐川得到了洞淵的一部算書 ， 內有九客之說 ， 專講勾股容圓問題 。此書對他啟發(fā)甚大 。為了能全面、深入地研究天元術 ， 李冶把勾股容圓(即切圓)問題作為一個系統(tǒng)來研究 。他討論了在各種條件下用天元術求圓徑的問題 ， 寫成《測圓海鏡》十二卷 ， 這是他一生中的最大成就 。
測圓海鏡
《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式 ， 即9種求直角三角形內切圓直徑的方法 ， 而且給出一批新的求圓徑公式 。卷一的“識別雜記”闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關系以及它們與圓徑的關系 ， 共六百余條 ， 每條可看作一個定理（或公式） ， 這部分內容是對中國古代關于勾股容圓問題的總結 。后面各卷的習題 ， 都可以在“識別雜記”的基礎上以天元術為工具推導出來 。李冶總結出一套簡明實用的天元術程序 ， 并給出化分式方程為整式方程的方法 。他發(fā)明了負號和一套先進的小數記法 ， 采用了從零到九的完整數碼 。除O以外的數碼古已有之 ， 是籌式的反映 。但籌式中遇O空位 ， 沒有符號O 。從現(xiàn)存古算書來看 ， 李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數書九章》是較早使用O的 ， 它們成書的時間相差不過一年 ?！稖y圓海鏡》重在列方程 ， 對方程的解法涉及不多 。但書中用天元術導出許多高次方程（最高為六次） ， 給出的根全部準確無誤 ， 可見李冶是掌握高次方程數值解法的 。
《測圓海鏡》不僅是我國現(xiàn)存最早的一部天元術著作 ， 而且在體例上也有創(chuàng)新 。全書基本上是一個演繹體系 ， 卷一包含了解題所需的定義、定理、公式 ， 后面各卷問題的解法均可在此基礎上以天元術為工具推導出來 。李冶之前的算書 ， 一般采取問題集的形式 ， 各章（卷）內容大體上平列 。李冶以演繹法著書 ， 這是中國數學史上的一個進步 。

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