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當(dāng)我們說到p-value時(shí)，我們?cè)谡f什么？
“這個(gè)變量的p-value小于0.05，所以這個(gè)變量很重要”
……..
你真的知道自己在說什么么？？？這個(gè)p-value到底是個(gè)什么鬼？為什么小于0.05就很重要？很重要是什么意思？？？？？
終于…
這次，我們通俗易懂地來講講到底什么是p-value（p值） 。
在講p-value之前，我們用擲硬幣來舉個(gè)例子 。
硬幣有正反兩面，在概率中我們知道，出現(xiàn)正反面的概率各為50%（1/2），所以作為一個(gè)正常的硬幣，如果我們投無限次后，結(jié)果一定會(huì)是正反各占50% 。但是，如果我想知道自己手中的硬幣，到底是不是正常的硬幣，有沒有做過手腳，在實(shí)際操作中是沒辦法投擲無限次的 。因此，我們只能用有限的結(jié)果來判斷“硬幣是否為常規(guī)硬幣”這個(gè)問題的答案 。
在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，做這個(gè)檢驗(yàn)時(shí)，通常會(huì)設(shè)定一個(gè)虛無假設(shè)（也叫零假設(shè)，Null Hypothesis），通常記作H0 。以及一個(gè)對(duì)立假設(shè)（Alternative Hypothesis），及與虛無假設(shè)對(duì)立的假設(shè)，如果證明虛無假設(shè)錯(cuò)誤，則可以推出對(duì)立假設(shè)成立 。
在擲硬幣這個(gè)例子中，我們可以設(shè)定
H0: 手中的硬幣是常規(guī)硬幣
H1: 手中的硬幣做過手腳
如果手中硬幣是常規(guī)硬幣，我們知道正面和反面出現(xiàn)的概率各為50%，所以如果我投擲10次硬幣，則正面和反面出現(xiàn)的次數(shù)各位5次 。正面5次，反面5次，就是我們對(duì)于投擲10次硬幣的期望值（expected value） 。
現(xiàn)在我們開始投擲硬幣，出現(xiàn)的是正面3次，反面7次 。這個(gè)結(jié)果就是我們對(duì)于投擲10次硬幣的觀測值（observed valued），即實(shí)際的結(jié)果 。
通過分析期望值和觀測值的差距，我們就可以判斷出硬幣是否正常 。而這個(gè)期望值和觀測值差距的判斷方法就是chi-square 。
Figure 1 chi-square計(jì)算公式
上圖即為chi-square的計(jì)算公式，O代表觀測值（observed value），E代表期望值（expected value） 。有沒有覺得這和方差的公式很像？沒錯(cuò)，其實(shí)方差是一組數(shù)據(jù)與其均值的比較，而chi-suaqre是一組數(shù)據(jù)與另一組數(shù)據(jù)期望值的比較 。
那么在擲硬幣這個(gè)例子中chi-square（卡方）=(3-5)^2/5+(7-5)^2/5=1.6
Figure 2 擲硬幣實(shí)驗(yàn)：觀測值與期望值對(duì)比表
算出了chi-square，那么又怎判斷檢驗(yàn)結(jié)果呢？現(xiàn)在，跟我一起把卡方分布表(見Figure 2)拿出來~
Figure 3 卡方分布表
上圖即為卡方分布表，左上角的α表示錯(cuò)誤拒絕H0假設(shè)的概率（即虛無假設(shè)事實(shí)上成立，但我們計(jì)算出的結(jié)果卻錯(cuò)誤判斷虛無假設(shè)不成立的概率） 。n代表自由度（degree of freedom），即獨(dú)立變量數(shù)減1，在這個(gè)例子中，獨(dú)立變量數(shù)為2（正面和反面），所以自由度為1（2-1=1） 。
當(dāng)然，你也會(huì)見到與上圖不一樣的卡方分布圖，比如Figure 3 。P代表α，即P(當(dāng)H0為真時(shí)拒絕H0)（其實(shí)就是p-value），df代表自由度（degree of freedom） 。
Figure 4 卡方分布表
假設(shè)置信度為95%，即錯(cuò)誤拒絕H0的概率為0.05 。展開解釋就是，我們有95%的概率確信檢驗(yàn)結(jié)果正確，有5%的概率會(huì)錯(cuò)誤拒絕虛無假設(shè) 。（我們總說的p值與0.05比較就是這個(gè)啦，其實(shí)不一定是0.05，根據(jù)具體情況可以設(shè)置不一樣的值，只是大部分時(shí)候都用0.05）
對(duì)照著卡方分布表（Figure 4），找到1所在的行（我們計(jì)算出的chi-square自由度是1），發(fā)現(xiàn)1.6是介于1.323和2.706之間，查表得出其p值為0.25到0.1之間，大于0.05，所以我們不能拒絕H0 。換句話說，H0成立，即硬幣是常規(guī)硬幣，沒有做手腳 。
Figure 5 卡方分布表（chi-square=1.6）
大家通過觀察卡方分布表能夠發(fā)現(xiàn)，在用一個(gè)自由度下，chi-square越大，其p值就越小 。舉個(gè)極端的例子，如果在擲硬幣的例子中，我投擲10次硬幣，剛好5次正面，5次反面，則此時(shí)算是的chi-square為0（觀測值與期望值一致），這時(shí)的p-value是遠(yuǎn)大于0.095，沒有理由拒絕H0,H0假設(shè)成立，即硬幣是常規(guī)硬幣 。

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