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你不可能追上一只烏龜，即便你是博爾特也不行。因為你在追烏龜?shù)臅r候總是要先追上烏龜行進路程的一半，當你追上這一半時，烏龜又前進了一部分，你又得追上新路程的一半，至此你將陷入到烏龜路程一半的漩渦中無法逃脫。對無理數(shù)和無窮概念的研究和拓展成功的化解了第一次數(shù)學危機，人類開始探究新的數(shù)學領(lǐng)域，從而推動了很多科學的發(fā)展。比如機器學和建筑學就是在這之后開始迅速的發(fā)展起來，正是在這樣的背景下便出現(xiàn)了以蒸汽機為代表的的一系列的機器發(fā)明，從此人類進入了工業(yè)化的蒸汽時代。十七、十八世紀關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭論，被稱為第二次數(shù)學危機。從歷史或邏輯的觀點來看，它的發(fā)生也帶有必然性。危機就是微積分定義的完善，這個問題其實也就是極限的問題。中國最早的關(guān)于極限問題的記載是老子的一段話：一尺之錘，日取其半，萬世不竭。這種說法已經(jīng)出現(xiàn)了最早的極限的思想，但是沒有進一步的思考，每次取出來之后的相加在一起是多少。微積分的基礎(chǔ)思想就是無限細分再整合。微積分中總是出現(xiàn)無限逼近的概念。比如無限小和0的區(qū)別，當時的人們在某種情況下直接將無限小當做0來使用，但卻不知其中蘊涵的數(shù)學意義。經(jīng)過許多人多年的努力，終于在17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者，他們的功績主要在于：把各種有關(guān)問題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；有明確的計算步驟；微分法和積分法互為逆運算。由于運算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當時解決問題的重要工具。同時，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴重。關(guān)鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數(shù)學危機。19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數(shù)理論，而且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學分析建立在實數(shù)理論的嚴格基礎(chǔ)之上。同時，魏爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續(xù)函數(shù)的例子。這個發(fā)現(xiàn)以及后來許多病態(tài)函數(shù)的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理。由此，第二次數(shù)學危機使數(shù)學更深入地探討數(shù)學分析的基礎(chǔ)——實數(shù)論的問題。這不僅導致集合論的誕生，并且由此把數(shù)學分析的無矛盾性問題歸結(jié)為實數(shù)論的無矛盾性問題，而這正是二十世紀數(shù)學基礎(chǔ)中的首要問題。這個問題在當時困擾了很多的數(shù)學家，而在這個問題解決之后引發(fā)的社會進步就是影響到我們現(xiàn)在電氣革命，現(xiàn)在很多的行業(yè)都是使用這些極限的計算。比如說航空中就會使用到這種計算。有了這種計算的方式之后，人類的進步可以參考我們生活的狀況就知道了。第三次數(shù)學危機是人們對集合論的懷疑，起始于1897福爾蒂發(fā)現(xiàn)的集合論悖論，再到康托發(fā)現(xiàn)第二個悖論，直到羅素提出了“羅素悖論”，才將對集合論的質(zhì)疑發(fā)展到了極致。也以羅素悖論最為出名。在羅素悖論中，一個牛逼哄哄的理發(fā)師在門店前寫了一句廣告詞：“自己技術(shù)精湛，會給所有不能給自己理發(fā)的人理發(fā)，滿足各種挑剔的需求，大家都來我這理發(fā)吧！” 。那么問題來了，這個理發(fā)師會給自己理發(fā)嗎？如果理了，那么就不是宣傳的那樣：只給不能給自己理發(fā)的人理發(fā)了。如果理發(fā)師不給自己理發(fā)，那么他又違背了廣告詞：只給不能自己理發(fā)的人理發(fā) 。很多人說羅素悖論只是對集合定義的一種詭辯而已 ?？墒堑浆F(xiàn)在都沒有人能完美解決這一所謂的詭辯。羅素悖論更像是哲學的本體論，從而劃分出來了唯心和唯物主義。我們從本體論的角度側(cè)面解讀一下羅素悖論。如果我是主觀唯心主義，我說世界只是我的表象，大千世界只是我意識幻想出來供我享樂的“虛假場所” 。那么問題來了，“我”的概念也是意識幻想出來的假象嗎？如果是，那么“我對“我”的概念質(zhì)疑的思想”也是意識幻想出來的嗎？如果還是，那么“我對“我疑我的思想”的質(zhì)疑”也是意識幻想的了......如果還是，那么我的意識主動性還存在嗎？意識本體在哪里？難不成我的前一秒意識幻想出我的后一秒意識嗎？好像我一思考自己的意識，意識本體就在自動后退，從而完美規(guī)避了我的意識被自己意識。那么你的意識到底是什么，它還存在嗎？如果你的意識存在，請你解釋剛才的矛盾。如果你的意識不存在，那么世界就不是你宣稱的唯心主義了，這不和你起初自稱唯心的口號矛盾了。羅素悖論，就很像這個問題，總是首先把自己置身事外，而換個角度看自己又處于事物之中。那么自己到底在事物之中還是事物之外呢？這個時候我們會發(fā)現(xiàn)，在作出選擇的時候，結(jié)果就已經(jīng)注定會產(chǎn)生矛盾。但是如果存在既給自己理發(fā)又不給自己理發(fā)的狀態(tài)，那么這個問題是否就解決了吶？這個問題就已經(jīng)開始涉及到一些現(xiàn)在物理學中研究的前沿的量子存在問題。有人說第三次數(shù)學危機若解決，人類將邁向神級文明，掌握時間，控制生死。我們會發(fā)現(xiàn)，每一次的數(shù)學危機都是在在一些最基礎(chǔ)的定義上面。在集合的定義上未來的一個解決方案就是使用四維空間的定義方式，提出一種新的數(shù)的存在形式，就像最初只有正數(shù)一樣后來提出了負數(shù) 。一旦這次的危機解決就會在四維空間的計算和運用中取得巨大的成就，因為數(shù)學作為一種最基礎(chǔ)的學科它的進步和突破都是革命性的。到時候人類很有可能就會參悟時間的真理，掌握生死的奧秘，人類將會逐步走向大神級別的文明，甚至還會研究出二向箔 ?？巳R因說：“有一句古老的忠告說：當心您的朋友，您的敵人自會留意。在科學活動中，這句話的意思就是：懷疑明顯的東西，這樣您將能清除科學真理中那些含混不清的內(nèi)容。任何能對明顯的東西進行挑戰(zhàn)的人，必定是十分勇敢的英雄，因為人們會認為這種挑戰(zhàn)是瘋狂的行為 ?！?/p>

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第三次數(shù)學危機( 二 )