文章插圖
如圖：三角形ABC三邊外接三個正方形EMBA、ACHN、BFGC（圖中綠色顯示），三個正方形再外接三個正方形LOFE、IMND、GJKH（圖中紫色顯示） 。已知正方形LOFE的面積為2809，正方形GJKH面積為2704，正方形IMND面積為2601 。求三角形ABC的面積
圖中的三角形ABC具有任意性，是一題有趣的套娃題目，三角形外面套了兩層正方形，已知最外圍正方形的面積，求最里面的三角形面積 。
如果你想思考一下，可以暫停滾屏，思考1分鐘后，再繼續(xù) 。
解法一（代數(shù)法）：
為了方便表達，我們在圖上標了三角形ABC的三個角和三條邊 。
把關注點先放到三角形MAN，我們注意到角MAN=180度-角a，運用余弦定理可得：
，化簡得：
。。。。（式1）
在三角形ABC中，運用余弦定理可得：
。。。。（式2）
由（式1）+（式2）得：
。。。。（式3）
同理，可以得到：
。。。。（式4）
。。。。（式5）
由（式3）+（式4）+（式5）得到：
。。。。（式6）
進而得到：
我們有
根據(jù)三角形面積海倫公式，可以得到新三角形的面積，進而得到三角形ABC的面積 。
此處省略具體計算過程，有興趣的讀者可以自行補充 。
解法三（幾何法）：
如果覺得以上方法都比較繁瑣，或者沒有學過三角函數(shù)，我們可以來一個純幾何的方法 。
按以下方式做輔助線：
其中MZ//NZ，BW//CW，可見三角形MAN的面積，是四邊形MANZ面積的一半 。三角形ABC的面積是四邊形BWCA面積的一半 。
做兩個四邊形的高BA1和AV，通過角的計算，發(fā)現(xiàn)：
角ZMA+角MAN=180=角MAN+角BAC，所以，角ZMA=角BAC
因此三角形BAA1與三角形AMV全等，BA1=AV
四邊形MANZ與四邊形BWCA面積相等，進而三角形ABC的面積與三角形MAN相等 。
剩下就跟方法二一樣，通過海倫公式就可以計算了 。
有興趣的讀者，可以自行完成
你學會了嗎？如果你有其他解法，也可以在評論區(qū)留言哦 。
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