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文章插圖
一.反比例函數(shù)的概念

概念：一般地，函數(shù)y=k/x（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù) 。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù) 。

注意：(1)比例系數(shù)k≠0是反比例函數(shù)的定義的重要部分;
(2)在反比例函數(shù)的解析式中,k,x,y均不等于0;
(3)反比例函數(shù)中的兩個(gè)變量一定成反比例關(guān)系,
反之,則不一定成立
例1 給出的六個(gè)關(guān)系式:①x(y+1); ②y=2/(x+2); ③y=1/x2; ④y=1/2x; ⑤y=x/2 ; ⑥y=-3/x.其中y是x的反比例函數(shù)的是?()
A.①②③④⑥B.③⑤⑥C.①②④D.④⑥
例2 若函數(shù)
是y關(guān)于x的反比例函數(shù),則m=.
例3 關(guān)于正比例函數(shù)y=-x/3和反比例函數(shù)y=-1/3x的說法正確的是?()
A.自變量x的指數(shù)相同B.比例系數(shù)相同
C.自變量x的取值范圍相同D.函數(shù)y的取值范圍相同
2.易錯(cuò)點(diǎn)解析漏掉k≠0這一條件
解答與反比例函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),要注意系數(shù)k≠0是反比例函數(shù)定義中必不可少的一部分,不能漏掉這一條件.
例4已知函數(shù)
為反比例函數(shù),則k=.
二.反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)
1.反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。
2.反比例函數(shù)的性質(zhì)
注意：y隨x變化的情況必須指出“在每個(gè)象限內(nèi)”或“在每一分支上”這一條件。
例5 關(guān)于反比例函數(shù)y=3/x的圖象,下列說法正確的是?()
A.圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1)
B.兩個(gè)分支分布在第二、四象限
C.兩個(gè)分支關(guān)于x軸成軸對稱
D.當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小
例6.當(dāng)x<0時(shí),下列表示函數(shù)y=-1/x的圖象的是?()
例7.下列反比例函數(shù)中,圖象位于第二、四象限的是()
A.y=2/x?B.y=0.2/x?C.y=√2/x?D.y=-2/5x?
例8.對于反比例函數(shù)y=(k-√10)/x,在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大,則滿足條件的非負(fù)整數(shù)k有?()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
三.反比例函數(shù)解析式的確定
由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。
例9.　已知y是x的反比例函數(shù),當(dāng)x=5時(shí),y=8.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)x=6時(shí),求y的值;
(3)當(dāng)y=-10時(shí),求x的值.
例10.已知y=y1+y2,y1與x成正比例,y2與x成反比例,并且當(dāng)x=-1時(shí),y=-1,當(dāng)x=2
時(shí),y=5.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)y=-5時(shí),求x的值.
四.反比例函數(shù)中反比例系數(shù)k的幾何意義及其常見模型
1.（常見模型結(jié)論及證明過程如圖片）如下圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形BEOF的面積S=BEBF= 。
注意：（1）利用k的幾何意義求k的題，一定要注意算出來的是k的絕對值；
（2）反比例函數(shù)圖象在第三象限時(shí)，k為正。
2.“三角形”化“梯形”模型
3.比例線段模型
4.等線段模型
5.中點(diǎn)模型
6.三垂直模型
7.山尖模型
例11.平行于x軸的直線與函數(shù)y1=a/x(a>0,x>0),y2=b/x(b>0,x>0)的圖象分別交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè),在x軸上取一點(diǎn)C,使△ABC的面積為3,則a-b的值為?()
A.6B.-6C.3D.-3

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