文章插圖
一：不同的人如何看待向量向量的概念我們?cè)偈煜げ贿^(guò)了，他們?cè)诓煌搜壑惺遣灰粯拥?br />
學(xué)物理的人認(rèn)為，向量是空間里面的箭頭，決定一個(gè)向量的是它的方向和長(zhǎng)度，如果兩個(gè)向量這兩個(gè)特征相同，那么你可以在空間中任意移動(dòng)
- 二維向量
- 三維向量
對(duì)于學(xué)數(shù)學(xué)的人，他們覺(jué)得向量可以是任何東西，只要保證兩個(gè)向量相加以及數(shù)字與向量相乘是有意義的即可
可以看出為什么從數(shù)學(xué)的角度看，向量是相當(dāng)抽象的，這也是為什么我們無(wú)法學(xué)好線性代數(shù)的本質(zhì)原因，而且向量相加和數(shù)乘也貫穿了線性代數(shù)這門(mén)學(xué)科的始終、
二：坐標(biāo)系中的向量表示在線性代數(shù)中，我們的向量是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的箭頭（下面的是二維直角坐標(biāo)系，三維，更高維也是這樣）
我們經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到線性代數(shù)中用begin{pmatrix} -2\ 3end{pmatrix}(?23)這樣的形式表示向量，這一對(duì)數(shù)表示了如何從原點(diǎn)（向量起點(diǎn)）到達(dá)尖端（向量終點(diǎn)）
- -2表示從原點(diǎn)開(kāi)始沿著平行于X軸的負(fù)方向移動(dòng)兩個(gè)單位
- 3表示從上一位置開(kāi)始沿著平行于Y軸的正方向移動(dòng)兩個(gè)單位
當(dāng)然我們處于三維世界，也是如此，會(huì)多一個(gè)z軸，這樣的話每一向量就會(huì)與一個(gè)三元數(shù)組對(duì)應(yīng)，比如begin{pmatrix} 2\ 1\ 3end{pmatrix}???213????
- 2表示從原點(diǎn)開(kāi)始沿著平行于X軸的正方向移動(dòng)兩個(gè)單位
- 1表示從上一位置開(kāi)始沿著平行于Y軸的正方向移動(dòng)一個(gè)單位
- 3表示從上一位置開(kāi)始沿著平行于Z軸的正方向移動(dòng)三個(gè)單位
begin{pmatrix} 1\ 2end{pmatrix}(12?)+begin{pmatrix} 3\ -1end{pmatrix}(3?1?)=begin{pmatrix} 4\ 1end{pmatrix}(41?)
但為什么要這樣運(yùn)算，很多人卻解釋不清楚，不過(guò)通過(guò)幾何角度會(huì)非常容易理解 。
首先begin{pmatrix} 1\ 2end{pmatrix}(12?)和begin{pmatrix} 3\ -1end{pmatrix}(3?1?)這兩個(gè)向量在坐標(biāo)系中表示如下
向量加法相信大家高中就學(xué)習(xí)過(guò)了：移動(dòng)第二個(gè)向量，使其起點(diǎn)移動(dòng)到第一個(gè)向量的末尾，然后連線即可
向量加法為什么一定是這樣呢？其實(shí)向量從某種方面來(lái)講，揭示的是一種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，運(yùn)動(dòng)無(wú)非就是方向和距離嘛，所以大家可以看到最終向量的和就是最終的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì) 。
這一點(diǎn)其實(shí)在我們初中學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)就深有體會(huì)了，我們知道2+5=7，你可以理解為先移動(dòng)2步，再移動(dòng)5步
我們把這種觀點(diǎn)運(yùn)用到剛才的向量加法，兩個(gè)向量相加最終得到了一個(gè)新的向量，它一共包括四步：先向右移動(dòng)1步，再向上移動(dòng)2步，再向右移動(dòng)3步，再向下移動(dòng)1步
所以這就是向量加法的本質(zhì)
（2）數(shù)乘2·begin{pmatrix} 1\ 2end{pmatrix}(12?)=begin{pmatrix} 2\ 4end{pmatrix}(24?)就是向量的數(shù)乘運(yùn)算
比如2overline v2v就是表示把overline vv正向延長(zhǎng)為原來(lái)的2倍
frac{1}{3} overline v31?v就是表示把overline vv正向縮短為原來(lái)的frac{1}{3}31?
而-1.8overline v?1.8v就是表示把overline vv反向延長(zhǎng)為原來(lái)的1.8倍
對(duì)于一個(gè)向量，對(duì)其進(jìn)行延長(zhǎng)2倍等于把它的每個(gè)分量都乘以2，也即
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