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四色定理（轟動(dòng)全球的四色問題）
1、“四色猜想”的由來(lái) 1852年，剛從大學(xué)畢業(yè)的學(xué)生弗南西斯·葛斯里，在對(duì)英國(guó)地圖著色的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)一個(gè)很有趣的現(xiàn)象。對(duì)無(wú)論多么復(fù)雜的地圖，只消用四種色調(diào)就足以將相鄰區(qū)域分開。弗南西斯感到這絕不是一個(gè)偶然現(xiàn)象，其中說(shuō)不定隱藏著某種深刻的科學(xué)道理哩。他把自己的想法告訴胞兄弗德雷克·葛斯里，請(qǐng)他解決。后者是著名數(shù)學(xué)家德·摩根教授的學(xué)生。他對(duì)弟弟提出的問題很感興趣，并敏銳地感到，這個(gè)地圖著色問題很可能是個(gè)數(shù)學(xué)問題，于是準(zhǔn)備給出數(shù)學(xué)證明。盡管他絞盡腦汁，卻百思不得其解。當(dāng)年10月23日，弗德雷克第一次用數(shù)學(xué)的形式作為“四色定理”請(qǐng)求德·摩根給以證明。摩根教授對(duì)自己的學(xué)生所提出的定理有著濃厚的興趣，當(dāng)即寫信將這事告訴了他在三一學(xué)院時(shí)的學(xué)友、著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家哈密爾頓爵士: “我的一個(gè)學(xué)生今天要我為他提供一個(gè)充分的理由，來(lái)說(shuō)明一件我自己還無(wú)法判明究竟是對(duì)的還是錯(cuò)的事實(shí) 。他說(shuō)，如果畫一張圖，圖上任意分成許多部分，凡是有共同邊界線的兩部分要涂上不同的顏色。那么，大概需要四種顏色，而不需要更多的顏色就可以了。請(qǐng)問：難道不能夠構(gòu)造出一個(gè)需要五種或者更多種顏色的圖么？
圖1
摩根教授期望這位智慧超人的超復(fù)數(shù)的締造者能夠給出答案。哈密爾頓爵士根本沒有想到，一個(gè)學(xué)生提出的這樣一個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的問題，居然會(huì)如此意想不到的困難。他經(jīng)過長(zhǎng)達(dá)13年的冥思苦索，直到1865年逝世為止，對(duì)此染色定理，始終一籌莫展，毫無(wú)結(jié)果。
哈氏死后13年，1878年6月13日，一位當(dāng)時(shí)很有名望的數(shù)學(xué)家凱萊，在數(shù)學(xué)年會(huì)上宣讀他曾在倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)會(huì)刊上發(fā)表過的一篇文章時(shí)，將上述問題歸納為“四色猜想” 。并在 1879年英國(guó)皇家地理會(huì)創(chuàng)辦的第一期會(huì)刊上，再次提及這個(gè)“猜想”，征求對(duì)這一“猜想”的正確解答。
川凱萊的文章和講話，引起了很大的反響，吸引了一大批很有才華的有志之士去探索這一難題的奧秘。值得一提的是，在這群有志之士中，有的人并不是以數(shù)學(xué)為專業(yè)的，而僅僅是對(duì)“四色猜想”著了迷而改攻數(shù)學(xué)的。這便是轟動(dòng)全球的“四色猜想”的由來(lái) 。
圖2
2、發(fā)揚(yáng)風(fēng)尚的游戲自凱萊歸納出“四色猜想”后，恰好一年光景，律師出身而改鉆數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家肯普寫成一篇論文，給出了第一個(gè)證明。證明發(fā)表以后、人們普遍認(rèn)為“四色難題” 已成為歷史，“猜想”已變?yōu)楝F(xiàn)實(shí) 。不料11年后，到了1890年，有位年僅20歲的后起之秀希伍德，指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。這樣一來(lái)，“四色猜想”依舊懸而未決。希伍德在指出肯普律師的錯(cuò)誤時(shí)，也肯定了他的成績(jī)，并且還采用肯普在論文中提供的方法成功地證明了“五色定理” 。
經(jīng)過這次波折，研究“四色猜想”的情緒更加振奮起來(lái) 。熱衷這一難題的有志者比比皆是。為了讓人們憑直覺在客觀上證實(shí)這個(gè)猜想必然成立，數(shù)學(xué)家斯蒂芬還設(shè)計(jì)出一種風(fēng)行一時(shí)的“染色游戲” 。游戲由兩人（或多人）參加，第一人任畫一閉合區(qū)域，由對(duì)手著色；著完色后，后者再畫一閉合區(qū)域讓對(duì)手（或是第三者）染色，如此循環(huán)進(jìn)行。游戲規(guī)定，不論誰(shuí)，若著色完畢并畫出閉合區(qū)域后，迫使后繼者非染第五種色調(diào)不可時(shí)，便判誰(shuí)為負(fù) 。這個(gè)規(guī)定很有意思，整個(gè)游戲中，每次染色都得為后繼者著想，不能迫使他用第五種色。如圖3，當(dāng)E區(qū)畫定時(shí)，D區(qū)只能染黃色。否則，由于E區(qū)與前四區(qū)相鄰，后繼者非染第五種顏色不可。這充分表明，要想迫使對(duì)方非染第五種顏色，那真是易如反掌。可是，游戲規(guī)定，誰(shuí)這樣作誰(shuí)便為負(fù) 。所以，必須時(shí)刻發(fā)揚(yáng)風(fēng)格，才能使自己立于不敗之地。
圖3
那么，是否只要切實(shí)地注意發(fā)揚(yáng)風(fēng)格，就確實(shí)能立于不敗之地呢？據(jù)說(shuō)，自倡導(dǎo)染色游戲以來(lái)，沒有誰(shuí)真正負(fù)過一次。這在客觀上便生動(dòng)表明：不管閉合區(qū)域多么復(fù)雜、多么怪，只用四色涂染，相鄰區(qū)域肯定能分開。換句話說(shuō)，“四色猜想”的必然成立是毫無(wú)疑義的。
但是，游戲畢竟是游戲，它只能說(shuō)明四色猜想成立與否的趨向性，怎么也不能用游戲去代替科學(xué)證明。那么，在理論上得如何下手去證明呢？長(zhǎng)時(shí)期來(lái)，成千上萬(wàn)的數(shù)學(xué)工作者和愛好者深為這一難題所困擾。
3、耐人尋味的插曲在“四色猜想”的進(jìn)軍途中，有著不少耐人尋味的插曲。有位才思過人、謙虛持重、聲望崇高的名數(shù)學(xué)家，一度擔(dān)任過愛因斯坦數(shù)學(xué)導(dǎo)師的閔可夫斯基教授，也因輕視這一問題的難度而鬧出過一則小笑話。
事情是這樣的。有一次，他正給蘇黎士大學(xué)的研究生們上課，一時(shí)興起，談起“四色問題”來(lái) 。他滿不在乎地說(shuō)： “四色猜想之所以一直沒有獲得解決，究其緣由是因?yàn)楫?dāng)今世界第一流的數(shù)學(xué)家們，還沒來(lái)得及研究它。其實(shí)，要解決這一猜想，并不見得會(huì)有多難。”說(shuō)著便拿起粉筆，即興推演，潛以為能一揮而就，當(dāng)場(chǎng)解決這一難題。他一口氣寫了幾黑板，沒料到越寫情況越復(fù)雜，越講頭緒越繁多，講著講著，不由自主地“掛”起黑板來(lái)了。雖然如此，教授毫不灰心，他堅(jiān)信自己確有能力揭開奧秘，決不草率收兵。第二天、第三天……一連幾天都接著講，接著算，接著寫。同樣，每一次都“掛”黑板，而且一次比一次更狼狽。閔可夫斯基對(duì)證明這一猜想所需的工作量遠(yuǎn)遠(yuǎn)估計(jì)不足，結(jié)果，“馬克松”式的一連“掛”了幾個(gè)星期黑板，搞得他焦頭爛額，不得不中途告吹。幾里期后的一天上午，他疲憊不堪地走進(jìn)教室。這時(shí)，正值雷電交加，大雨傾盆，閔可夫斯基十分愧疚地說(shuō)： “唉！看來(lái)，上帝在責(zé)怪我狂妄自大！四色猜想真難呀，我簡(jiǎn)直拿它毫無(wú)辦法！”
圖4
從閔可夫斯基為“四色猜想”空前受挫之后，“四色問題”與“費(fèi)馬大定理”、“哥德巴赫猜想”齊名，即使人津津有味，又令人望而生畏。
4、“四色定理”的例證對(duì)“四色定理”，要給出一般證明的確不是輕而易舉的事。但是對(duì)若干特殊情形，我們不難給出完滿的證明。為了給讀者提供資料，現(xiàn)在就正十二面體可用四色涂染作為例證以窺一斑。
為了畫圖方便和直觀起見，將正十二面體經(jīng)過“開孔”，“展開”，“攤平”，畫成平面網(wǎng)絡(luò)（圖5）。
并且約定：1號(hào)面為“前面”，12號(hào)面為“背面”，2至6號(hào)面稱為“第一環(huán)面”，7至11號(hào)面稱為“第二環(huán)面” 。另外，若通過正十二面體的一個(gè)旋轉(zhuǎn)，可以將兩種涂色方法的同色面完全重合時(shí)，則將這兩種涂色方案看成是相同的。有了這些規(guī)定之后，我們就可以證明下述定理：用四色涂染正十二面體，有且僅有四種不同的染色方案。
圖5
可分三個(gè)步驟進(jìn)行推證：
第一步，對(duì)正十二面體著色，不管任何方案，四種顏色中每種都恰好使用三次（請(qǐng)讀者想想這是為什么？）。
第二步，顯然，1號(hào)面與12號(hào)面決不能同色。并且，1號(hào)面色調(diào)必與第二環(huán)面中使用兩次的色彩相合；12號(hào)面必與第一環(huán)面涂染兩次者同色。這顯然表明，當(dāng)?shù)谝画h(huán)面與背面的色彩染定時(shí)，就只能按照唯一的一種染色方法給其余各面涂上顏色。
第三步，從圖6可知，用四種顏色對(duì)正十二面體著色，一共只有十二種方案。圖中每一行所列的四種方案是互不相同的，而每列所示的三個(gè)方案皆可通過旋轉(zhuǎn)而重合。因此證明，只有四種不同的染色方案。
圖6
5、科學(xué)史的殷切囑望上例說(shuō)明，一張地圖中，國(guó)家的個(gè)數(shù)不超過12時(shí)，四色定理確實(shí)是成立的。這一成功，激發(fā)人們不懈地去提高圖中國(guó)家數(shù)目的上限：1922年，有人證明了，一張圖中國(guó)家的個(gè)數(shù)不超過25時(shí)，四色定理成立；1938年，有人把國(guó)家數(shù)目提高到32; 1940年，國(guó)家數(shù)目提高到35; 1969年，上限推到39 。這就是說(shuō)，1922年到1969年將近半個(gè)世紀(jì)，使“四色定理”得以成立的國(guó)家數(shù)僅僅提高了14個(gè) 。這樣，要想否定“四色猜想”，至少得設(shè)計(jì)一張包括40個(gè)相鄰的閉合區(qū)域才有可能。
圖7
與此同時(shí)，還有人從另一方面開辟道路，提出一系列與四色猜想“等價(jià)”的猜想。只要這些“等價(jià)”猜想中的任意一個(gè)得到證實(shí)，那么，四色猜想即告解決。1972年，有人在一篇論文中，對(duì)這類“等價(jià)”猜想，一口氣列出13個(gè)之多，可是誰(shuí)也沒能打開缺口，闖出新路。到了二十世紀(jì)七十年代中期，美國(guó)伊利諾斯大學(xué)數(shù)學(xué)家阿沛爾教授和哈肯教授獨(dú)樹一幟，他們采用肯普當(dāng)年創(chuàng)立的“不可避免性”與“構(gòu)形可約性”這一基本思想，啟動(dòng)三臺(tái)1BM360型超高速電子計(jì)算機(jī)（這是大學(xué)畢業(yè)生柯奇專為阿沛爾和哈肯裝配的），運(yùn)轉(zhuǎn)1200個(gè)機(jī)時(shí)，進(jìn)行了兩百億次邏輯判定，終于在1976年9月獲得“四色定理”的證明。為了紀(jì)念阿沛爾和哈肯的功績(jī)，伊利諾斯大學(xué)城烏爾班納郵局，在發(fā)布“四色定理”已經(jīng)獲證消息的當(dāng)天，便加蓋了紀(jì)念郵戳"FOUR COLORS SUFFICE!"（只要四種顏色就夠了）借以記錄下這亙古以來(lái) 的奇跡，同時(shí)，及時(shí)將成功的喜訊傳遍全球。
盡管“四色猜想”在大型超高速電子計(jì)算機(jī)的幫助下奇跡般地變成了“四色定理”，但四色問題并未因此而宣告結(jié)束。我們知道，數(shù)學(xué)證明的傳統(tǒng)風(fēng)格是簡(jiǎn)明嚴(yán)謹(jǐn)，筆墨可互施。這個(gè)啟動(dòng)超高速電子計(jì)算機(jī)也要費(fèi)上千個(gè)機(jī)時(shí)的“馬拉松證明”能不能加以簡(jiǎn)化？不用計(jì)算機(jī)械能不能給出證明？除了阿沛爾和哈肯的方法外，還存不存在其它的方法？所有這些，還擺在數(shù)學(xué)家和科學(xué)愛好者的面前！所有這些，還期待著人們?nèi)ニ妓鳎ヌ角?，去發(fā)現(xiàn)，去解決！所有這些，便是科學(xué)史賦予人類的殷切矚望！
【四色定理轟動(dòng)全球的四色問題】

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