圓的面積公式對(duì)半徑求導(dǎo):
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居然得到了圓的周長(zhǎng)公式!
圓的周長(zhǎng)公式對(duì)半徑積分：
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居然得到了圓的面積公式!
這里其實(shí)包含有定積分“微元法”的原理，圓的面積的“微元”是圓的周長(zhǎng)，如圖:
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圓的面積其實(shí)就是把圓的面積微元（圓周長(zhǎng)）按半徑積分（0為積分下限，半徑長(zhǎng)為積分上限）的結(jié)果 。
再比如三角形的面積s=1/2ah ,是將三角形取“面積微元”，如平行于底做一系列平行線，得到面積的“微元”——比例線段 。再將微元函數(shù)（比例線段長(zhǎng)），按高h(yuǎn)積分（0位積分下限，h為積分上限）得到三角形的面積：
為了計(jì)算，我們先要建立一個(gè)積分變量的x軸，原點(diǎn)為O,正方向豎直朝下，考慮過(guò)軸上任意一點(diǎn)x處的平行線（微元分割線），其長(zhǎng)度為f(x)
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由相似可知：
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所以
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這里f(x)(即比例線段長(zhǎng))就是三角形面積的微元函數(shù)，將f(x)按高h(yuǎn)積分便得到三角形的面積：
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類(lèi)比面積，我們可以用積分來(lái)求體積，比如正方體的體積
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將正方體取“體積微元”，如分成無(wú)數(shù)個(gè)平行于底面的平行“切片”，切片的面積為 f(x)(即體積的微元函數(shù))，這里的f(x)是常數(shù)函數(shù)，f(x)= a2,將f(x)按高a積分就得到正方體的體積：
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現(xiàn)在回到正題，為什么錐體體積系數(shù)是1/3？
對(duì)如下任意錐體：
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我們以頂點(diǎn)O為原點(diǎn),建立積分變量的x軸(正方向豎直朝下):
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取“體積微元”（平行于底面的平行“切片”），切片的面積為f(x)(即體積的微元函數(shù))，設(shè)底面積為s,高為h.因?yàn)榈酌娣e與截面面積是相似的，由兩個(gè)相似圖形的面積比等于相似比的平方知:
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則
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將f(x)按高h(yuǎn)積分得到錐體的體積：
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