學(xué)了高中立體幾何，我們都知道錐體的體積是1/3sh 。有人可能不禁要問(wèn)為什么系數(shù)是1/3，為什么不是1/2或1/4？今天我們就來(lái)說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題 。
首先我們知道體積是表示立體圖形占據(jù)立體“空間”的多少，就像下面三個(gè)幾何體包含“小正方體”的多少一樣：
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這樣我們就能理解長(zhǎng)方體的體積為什么是長(zhǎng)×寬×高（相當(dāng)于是計(jì)算長(zhǎng)方體中包含的單位“小正方體”的數(shù)目），從而平直規(guī)整的柱體的體積也能理解了 。
對(duì)于不規(guī)則的柱體，像下面這種：
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這種柱體的體積又怎么計(jì)算呢？
對(duì)于這樣的柱體可以通過(guò)祖暅原理來(lái)理解：
祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.
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如下圖：完全相同且數(shù)目一樣的兩堆書(shū)疊成兩摞，一摞豎直疊，一摞斜著疊，（分別對(duì)應(yīng)一個(gè)直棱柱和一個(gè)斜棱柱）用平行于底面的截面截這兩個(gè)棱柱，截得的截面面積是處處相等的，而它們的體積顯然是相等的，這是祖暅原理的直觀體現(xiàn) 。
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由祖暅原理知底面積相等的如下三個(gè)柱體的體積都相等：
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不過(guò)錐體（棱錐、圓錐及不規(guī)則錐體）的體積，卻不能直接按上述方法定義 。我們可以回想小學(xué)時(shí)推導(dǎo)三角形的面積公式：兩個(gè)相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，從而三角形的面積是：
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我們可以效仿這種思維，如下圖：
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三棱柱ABC-A'B'C'的底面積(即△ABC的面積)為s,高(即點(diǎn)A'到平面ABC的距離)為h.則它的體積為sh.沿平面A'BC和平面A'B'C,將這個(gè)三棱柱分割為3個(gè)三棱錐，其中三棱錐1,2的底面積相等(S△A'AB=S△A'B'B),高也相等(點(diǎn)C到平面ABB'A'的距離)；三棱錐2,3也有相等的底面積(S△B'BC=S△B'C'C)和相等的高(點(diǎn)A'到平面BCC'B'的距離) 。因此,這三個(gè)三棱錐的體積相等，每個(gè)三錐的體積是1/3sh.
那四棱錐，五棱錐……以至于不規(guī)則錐體的體積又怎么計(jì)算呢？我們并不能直觀地對(duì)所有棱錐用“分割轉(zhuǎn)化”的方法求得體積 ?？梢赃@樣考慮，因?yàn)槔忮F是一個(gè)3維空間的實(shí)體，從“等底等高”的柱體到錐體，可以看作是在維度上收縮了1/3，因此要乘以1/3 。之所以說(shuō)收縮了1/3，是由于這是從一個(gè)原始的面，到線，到點(diǎn)，跨越了三個(gè)維度 。
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這樣的解釋還不夠清楚，更嚴(yán)格的論證需要用到積分原理（關(guān)于積分可以參見(jiàn)前面的文章——） 。首先我們知道從點(diǎn)、線、面、體的逐級(jí)跨越中，逐漸有了長(zhǎng)度、面積、體積的度量的逐級(jí)升級(jí)（點(diǎn)的度量為零） 。
先看兩個(gè)例子：
以上關(guān)于本文的內(nèi)容，僅作參考！溫馨提示：如遇健康、疾病相關(guān)的問(wèn)題，請(qǐng)您及時(shí)就醫(yī)或請(qǐng)專業(yè)人士給予相關(guān)指導(dǎo)!
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